Oltre Copenhagen · A · percorso parallelo con Norsen e Bell

I tre problemi

Perché qualcuno cerca un'alternativa a Copenhagen: misura, località e ontologia, con tutti i conti.

La mappa di questa parte

A lezione abbiamo imparato a usare la meccanica quantistica: uno stato è un raggio, un'osservabile è un operatore autoaggiunto, la probabilità di un esito si calcola con la formula di Born e dopo la misura lo stato diventa l'autostato corrispondente all'esito trovato. Questo percorso parallelo si chiede che cosa la teoria dica sul mondo. La risposta di manuale è l'interpretazione di Copenhagen. Il libro che seguiamo, Foundations of Quantum Mechanics di Travis Norsen, le attribuisce tre problemi precisi e li formula con la matematica. Questa pagina li presenta uno alla volta; le epoche successive mostrano tre teorie che provano a risolverli.

Copenhagen in breve

Riassumo la sintesi che Norsen fa nel capitolo 6, riducendola ai punti che ci servono.

• I concetti classici sono necessari. Per Bohr ogni esperimento si descrive con il linguaggio della fisica classica: posizioni di lancette, tracce su una lastra. La teoria quantistica non sostituisce quei concetti; ne limita l'uso (Norsen, p. 152).
• La misura disturba in modo incontrollabile. Ogni osservazione è un'interazione non trascurabile con l'apparato, quindi non si può attribuire una realtà indipendente né al fenomeno né allo strumento, e il taglio tra i due è arbitrario (Norsen, pp. 152-153).
• Complementarità. Descrizione nello spazio-tempo e descrizione causale, onda e particella, si escludono a vicenda e sono entrambe necessarie. Il legame con le relazioni di indeterminazione è diretto (Norsen, pp. 154-155).
• La funzione d'onda è simbolica. Bohr la considera uno strumento di calcolo, anche perché vive nello spazio delle configurazioni e usa numeri complessi. Quando dice che la teoria è completa intende che non si può chiedere di più, in senso epistemologico (Norsen, pp. 157-158).
• Tra due osservazioni non c'è descrizione. Heisenberg divide l'analisi di un esperimento in tre passi: tradurre la preparazione in una funzione di probabilità, farla evolvere, calcolare l'esito della misura successiva. Il salto quantico è un cambiamento della nostra conoscenza (Norsen, pp. 160-164).

Il formalismo, in questa lettura, è uno strumento per prevedere esiti di misura. Norsen non contesta che funzioni. Sostiene che, presa come descrizione completa del mondo, la teoria incontra tre difficoltà, e che esistono descrizioni realistiche coerenti, la prima delle quali è l'onda pilota (Norsen, p. 181).

I tre problemi

1. Il problema della misura (Norsen, cap. 3). I postulati usano la parola «misura» senza definirla, e prevedono due evoluzioni diverse: quella di Schrödinger, continua e deterministica, e il collasso. Se trattiamo anche lo strumento con l'equazione di Schrödinger, il collasso non arriva mai e il puntatore finisce in una sovrapposizione.
2. Il problema della località (Norsen, cap. 4). Se la funzione d'onda è la descrizione completa di una particella, il collasso cambia lo stato fisico in punti lontani istantaneamente. Einstein lo considerava incompatibile con la relatività.
3. Il problema dell'ontologia (Norsen, cap. 5). Per $N$ particelle la funzione d'onda è una funzione di $3N$ variabili. Non è chiaro come un oggetto che vive in uno spazio a $3N$ dimensioni descriva tavoli, gatti e puntatori nello spazio a tre dimensioni.

Prima dei problemi quantistici serve un capitolo di fisica classica, perché le parole «località» e «ontologia» vanno definite in un caso in cui tutto è chiaro. Lo facciamo nella sezione 1.

1Località e ontologia nella fisica classica

Pensa a un sasso gettato in uno stagno. Una barchetta a dieci metri di distanza si accorge del sasso solo quando arriva l'onda, cioè dopo un tempo pari alla distanza divisa per la velocità delle onde. Nessuna informazione arriva prima. Nell'elettromagnetismo succede la stessa cosa con la velocità della luce $c$: una carica che si muove qui cambia il campo laggiù solo dopo il tempo $r/c$. Una teoria fatta così si dice locale. La gravità di Newton invece agisce istantaneamente: se il Sole si spostasse, la Terra lo sentirebbe nello stesso istante.

Il cono di luce dalle equazioni di Maxwell

Ognuna delle sei componenti di $\vec E$ e $\vec B$ soddisfa un'equazione d'onda con una sorgente $f$, che è una derivata della densità di carica $\rho$ o della densità di corrente $\vec j$ (Norsen, p. 23):

Qui $\psi$ non è una funzione d'onda quantistica: è il nome generico di una componente del campo. Il trucco per risolverla è partire dalla sorgente più semplice possibile, un lampo puntiforme e istantaneo nel punto $\vec x'$ all'istante $t'$:

La soluzione causale è (Norsen, p. 24)

La delta è diversa da zero solo quando $t=t'+|\vec x-\vec x'|/c$, cioè sulla superficie di una sfera centrata in $\vec x'$ il cui raggio $c(t-t')$ cresce alla velocità della luce. Nello spazio-tempo questa superficie è il cono di luce futuro del lampo. Il libro dà la verifica di (1.24) come progetto (Project 1.8, pp. 43-44): si cerca una soluzione della forma $g(t-r/c)/r$ e si fissa $g$ integrando su una sfera piccola attorno alla sorgente.

Una sorgente realistica è una somma di tanti lampi. Il libro lo dice a parole (pp. 24-25); la formula esplicita la aggiungo io.

1. Per la proprietà di campionamento della delta (la stessa usata a lezione per $\psi(x)=\int\psi(x')\delta(x-x')\,dx'$), ogni sorgente si scrive come sovrapposizione di lampi: $$f(\vec x,t)=\int f(\vec x',t')\,\delta^3(\vec x-\vec x')\,\delta(t-t')\,d^3x'\,dt'.$$
2. L'equazione (1.22) è lineare: se ogni lampo produce $\psi_{\vec x',t'}$, la somma pesata dei lampi produce la somma pesata delle risposte: $$\psi(\vec x,t)=\int f(\vec x',t')\,\psi_{\vec x',t'}(\vec x,t)\,d^3x'\,dt'.$$
3. Inserisco (1.24) e integro su $t'$. Come funzione di $t'$, la delta $\delta(t-t'-R/c)$ con $R=|\vec x-\vec x'|$ seleziona il solo valore $t'=t-R/c$: $$\psi(\vec x,t)=-\frac{1}{4\pi}\int\frac{f\big(\vec x',\,t-|\vec x-\vec x'|/c\big)}{|\vec x-\vec x'|}\,d^3x'.$$
4. Il campo in $(\vec x,t)$ dipende dalle sorgenti in $\vec x'$ solo all'istante ritardato $t-|\vec x-\vec x'|/c$. L'insieme di quegli eventi è il cono di luce passato di $(\vec x,t)$.

Alla soluzione così trovata si può sommare una soluzione dell'equazione senza sorgente, cioè onde libere che viaggiano anch'esse a velocità $c$ (Norsen, pp. 25-26). La conclusione di Norsen è che l'elettrodinamica di Maxwell è completamente locale: ciò che accade in un evento dipende solo da ciò che sta sul suo cono di luce passato o al suo interno. Per questo è compatibile con la relatività, mentre la gravità di Newton non lo è (Norsen, p. 26).

La definizione di località di Bell

Serve una definizione che non dipenda dalle equazioni di Maxwell. Chiamiamo $\chi_1$ un fatto fisico nell'evento 1 (il valore di un campo, la velocità di una particella) e scegliamo una «fetta» $\Sigma$ del cono di luce passato di 1, come nella figura. Chiamiamo $C$ la specificazione completa di tutto ciò che c'è su $\Sigma$. In Maxwell $C$ determina $\chi_1$: le onde che entrano dal bordo e le sorgenti dentro il cono sono tutte fissate da ciò che c'è su $\Sigma$ (Norsen, p. 28). In formula, per una teoria deterministica,

La figura mostra due eventi lontani, 1 e 2, separati in modo che nessun segnale alla velocità della luce possa collegarli. Le linee tratteggiate sono i loro coni di luce passati; la zona colorata è la parte di passato che hanno in comune. La fetta $\Sigma$, in rosso, sta abbastanza vicina a 1 da separarlo da quella zona comune, e l'evento 2 sta fuori dal cono futuro di $\Sigma$ (le linee a puntini).

Bell generalizza (1.26) alle teorie in cui le leggi danno solo probabilità. Ricorda che la probabilità condizionata $P[a\,|\,b]$ è la probabilità di $a$ sapendo che vale $b$, cioè $P(a\text{ e }b)/P(b)$. La condizione di località di Bell è (Norsen, p. 29)

A parole: una volta che conosci tutto ciò che c'è su $\Sigma$, venire a sapere che cosa succede nell'evento lontano 2 non cambia la probabilità di $\chi_1$. Il caso deterministico rientra come caso particolare, con probabilità 0 o 1. Norsen propone anche una variante equivalente nello spirito, che confronta due possibili fatti diversi $\chi_2$ e $\chi_2'$ nell'evento lontano (p. 31):

La variante è più comoda per diagnosticare una non-località: in una teoria non locale $P[\chi_1|C]$ può non essere nemmeno definita, perché la teoria ha bisogno di sapere che cosa succede lontano, mentre (1.28) confronta due numeri ben definiti (Norsen, p. 31).

Le due condizioni della figura sono essenziali (Norsen, p. 30).

• $C$ deve essere completa. Un esempio mio: prepari due buste con dentro due carte dello stesso colore, rosso o blu a caso, e ne spedisci una a Roma e una a Tokyo. Se $C$ non contiene il colore, aprire la busta di Tokyo cambia la probabilità di trovare rosso a Roma da $\tfrac12$ a 0 o a 1. La teoria non è non locale: il colore era una causa comune nel passato, e $C$ la ometteva.
• $\Sigma$ deve schermare la zona comune. Se $\Sigma$ fosse più in basso, sotto la zona colorata, in una teoria probabilistica un evento casuale nella zona comune, non determinato da $\Sigma$, potrebbe influenzare sia 1 sia 2, e di nuovo $\chi_2$ porterebbe informazione su $\chi_1$ senza alcuna azione a distanza.

Un esempio: la gravità di Newton viola la località

Norsen applica (1.28) a tre masse allineate (pp. 31-32, Fig. 1.8). Una massa $M$ sta in mezzo a due masse $m$, ciascuna a distanza $r$. Sia $\chi_1$ il fatto «l'accelerazione di $M$ è nulla», valutato appena dopo l'istante $t_0$; sia $\chi_2$ «la massa di destra resta ferma» e $\chi_2'$ «la massa di destra viene spinta verso sinistra» all'istante $t_0$. Il conto esplicito è mio. Prendendo positivo il verso verso destra, la forza su $M$ per unità di massa è

dove $r_{\rm d}$ e $r_{\rm s}$ sono le distanze dalla massa di destra e da quella di sinistra. Con $\chi_2$ si ha $r_{\rm d}=r_{\rm s}=r$ e $a_M=0$. Con $\chi_2'$ la massa di destra si è avvicinata, $r_{\rm d}=r-\delta$, e subito

Quindi $P[\chi_1|C,\chi_2]=1$ e $P[\chi_1|C,\chi_2']=0$: la condizione (1.28) è violata, perché la legge di Newton è istantanea. Con delle cariche al posto delle masse, nella teoria di Maxwell, la notizia della spinta arriverebbe a $M$ solo dopo il tempo $r/c$, e appena dopo $t_0$ le due probabilità sarebbero uguali.

Ontologia: che cosa esiste secondo una teoria

La parola ontologia indica ciò che, secondo una teoria, esiste davvero. Per Newton sono le particelle; per Maxwell sono le particelle e i campi (Norsen, p. 32). La domanda sembra oziosa finché non si incontrano oggetti matematici che non sono reali. L'esempio classico sono i potenziali. Si scrivono i campi come (Norsen, p. 33)

I potenziali non sono fissati dai campi. Con una funzione $\lambda(\vec x,t)$ qualsiasi si può fare la trasformazione di gauge (Norsen, pp. 33-34)

Il libro dice che è facile vedere che i campi non cambiano; ecco il conto.

1. Campo magnetico: $\vec B'=\vec\nabla\times(\vec A+\vec\nabla\lambda)=\vec\nabla\times\vec A+\vec\nabla\times\vec\nabla\lambda=\vec B$, perché il rotore di un gradiente è nullo.
2. Campo elettrico: $\vec E'=-\vec\nabla\Big(\varphi-\dfrac{\partial\lambda}{\partial t}\Big)-\dfrac{\partial}{\partial t}\big(\vec A+\vec\nabla\lambda\big)=\vec E+\vec\nabla\dfrac{\partial\lambda}{\partial t}-\dfrac{\partial}{\partial t}\vec\nabla\lambda=\vec E$, perché le derivate rispetto a $t$ e allo spazio commutano.

Nella gauge di Coulomb, $\vec\nabla\cdot\vec A=0$, la legge di Gauss diventa l'equazione di Poisson $\nabla^2\varphi=-\rho/\epsilon_0$ (1.42). La sua soluzione, nota dall'elettrostatica, è $\varphi(\vec x,t)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\vec x',t)}{|\vec x-\vec x'|}\,d^3x'$, con la carica valutata allo stesso istante $t$: in questa gauge $\varphi$ cambia istantaneamente ovunque quando una carica si sposta. Nessuno se ne preoccupa, perché $\varphi$ è uno strumento di calcolo; i campi fisici $\vec E$ e $\vec B$ restano locali (Norsen, pp. 34-35). Bell paragona la situazione alla sovranità britannica: alla morte della regina il principe di Galles diventa re all'istante anche se si trova in Australia, perché le convenzioni possono «viaggiare» a qualunque velocità (Norsen, p. 35).

Bell dà un nome alle cose che una teoria considera reali: le chiama beables, cose che «possono essere», in contrapposizione alle observables. In Maxwell $\vec E$ e $\vec B$ sono beables, i potenziali no. Un beable è locale se è legato a una regione limitata dello spazio-tempo; l'energia totale dell'universo, per esempio, non lo è (Bell, art. 7, pp. 63-64). La condizione di località va scritta per i beables, cioè i fatti $\chi$ devono essere grandezze fisicamente reali (Norsen, p. 35).

2Il problema della misura

Una lastra fotografica annerita in un punto, una lancetta che si ferma su un numero: ogni misura finisce con un oggetto grande in una posizione precisa. I postulati del corso dicono che la misura fa due cose. Dà un esito con la probabilità di Born, e lascia il sistema nell'autostato corrispondente, così che ripetendo subito la misura si trova lo stesso valore (t12). In formula, se misuri l'osservabile $\hat A$ tra gli istanti $t_1$ e $t_2$ (Norsen, pp. 71-72):

Questo salto è un'evoluzione diversa da quella di Schrödinger. La domanda di Norsen è semplice: lo strumento è fatto di atomi, e gli atomi obbediscono all'equazione di Schrödinger. Che cosa succede se descriviamo con l'equazione di Schrödinger anche lo strumento? Per rispondere servono due attrezzi che a lezione non abbiamo ancora visto.

Il modello di von Neumann

Vogliamo misurare l'energia di una particella in una scatola. Lo stato iniziale è una sovrapposizione dei primi tre livelli (Norsen, p. 76):

Lo strumento è idealizzato come una sola particella pesante, di massa $M$ e coordinata $y$: la lancetta. All'inizio sta ferma vicino a $y_0$, descritta da un pacchetto gaussiano di larghezza $\sigma$ (Norsen, p. 77):

All'inizio particella e lancetta non hanno ancora interagito, quindi lo stato è un prodotto. L'evoluzione segue l'equazione di Schrödinger per due variabili, $i\hbar\,\partial_t\Psi(x,y,t)=\hat H\Psi(x,y,t)$, con $\hat H=\hat H_x+\hat H_y+\hat H_{int}$ (3.7). Le tre parti sono queste.

• $\hat H_x=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)$ è l'energia della particella (3.8).
• $\hat H_y=-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\partial^2}{\partial y^2}$ è l'energia cinetica della lancetta (3.9). Poiché $M$ è grande, il pacchetto si allarga lentamente e si pone $\hat H_y\approx0$ (3.10).
• $\hat H_{int}$ accoppia i due sistemi. Va scelta in modo che, se la particella è in $\psi_n$, la lancetta si sposti di una quantità proporzionale a $E_n$. La scelta di Norsen (p. 78) è $$\hat H_{int}=\lambda\,\hat H_x\,\hat p_y=-i\hbar\lambda\,\hat H_x\frac{\partial}{\partial y},\qquad(3.11)$$ dove $\lambda$ è una costante di accoppiamento e $\hat p_y=-i\hbar\,\partial/\partial y$ è l'impulso della lancetta.

Primo caso: la particella è già in un autostato

1. Stato iniziale (Norsen, p. 78): $\Psi(x,y,0)=\psi_n(x)\,\phi(y)$. (3.12)
2. L'accoppiamento $\lambda$ è grande e l'interazione dura un tempo breve $T$; durante l'interazione si trascura tutto tranne $\hat H_{int}$: $$i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-i\hbar\lambda\,\hat H_x\frac{\partial\Psi}{\partial y}.\qquad(3.13)$$
3. Divido entrambi i membri per $i\hbar$: $$\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\lambda\,\hat H_x\frac{\partial\Psi}{\partial y}.\qquad(3.14)$$
4. $\hat H_x$ agisce solo su $x$, e nell'equazione $x$ non è accoppiata a nient'altro. Cerco allora una soluzione della forma $\Psi=\psi_n(x)\,g(y,t)$, con $g(y,0)=\phi(y)$. Poiché $\hat H_x\psi_n=E_n\psi_n$, al posto di $\hat H_x$ posso scrivere il numero $E_n$, e dopo aver semplificato il fattore comune $\psi_n(x)$ resta (Norsen, p. 78) $$\frac{\partial g}{\partial t}=-\lambda E_n\frac{\partial g}{\partial y}.\qquad(3.15)$$
5. È un'equazione di trasporto: la soluzione è il profilo iniziale che trasla a velocità $v=\lambda E_n$, cioè $g(y,t)=\phi(y-\lambda E_nt)$. Il libro dice che la verifica è immediata; eccola. Con la regola della catena, $\partial_t\phi(y-vt)=-v\,\phi'(y-vt)$ e $\partial_y\phi(y-vt)=\phi'(y-vt)$, quindi $\partial_tg=-v\,\partial_yg$, che è (3.15). A $t=0$ si ritrova $\phi(y)$. Dunque $$\Psi(x,y,t)=\psi_n(x)\,\phi(y-\lambda E_nt).\qquad(3.16)$$
6. Alla fine dell'interazione, $t=T$: $$\Psi(x,y,T)=\psi_n(x)\,\phi(y-\lambda E_nT).\qquad(3.17)$$ Il pacchetto della lancetta è centrato in $y_n\equiv y_0+\lambda E_nT$, una posizione che dipende dall'energia. La particella è rimasta in $\psi_n$ e la lancetta indica $E_n$: lo strumento funziona.

Lo stesso conto in notazione di Dirac mostra perché la lancetta trasla. Questa versione non è nel libro (il digest la segnala come nota); usa un'idea che a lezione arriverà con la tappa t22.

1. L'operatore di evoluzione con il solo $\hat H_{int}$ è $\hat U(T)=\exp\!\big(-\tfrac{i}{\hbar}\lambda T\,\hat H_x\otimes\hat p_y\big)$.
2. Sullo stato $|\psi_n\rangle\otimes|\phi\rangle$ ogni potenza di $\hat H_x\otimes\hat p_y$ agisce come $(\hat H_x\otimes\hat p_y)^k|\psi_n\rangle\otimes|\phi\rangle=E_n^k|\psi_n\rangle\otimes\hat p_y^k|\phi\rangle$. Sommando la serie dell'esponenziale: $$\hat U(T)\,|\psi_n\rangle\otimes|\phi\rangle=|\psi_n\rangle\otimes e^{-i\lambda E_nT\hat p_y/\hbar}|\phi\rangle.$$
3. Con $a=\lambda E_nT$ e $\hat p_y=-i\hbar\,d/dy$, si ha $-ia\hat p_y/\hbar=-a\,d/dy$. Per la serie di Taylor $$e^{-a\,d/dy}\phi(y)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-a)^k}{k!}\phi^{(k)}(y)=\phi(y-a).$$ L'impulso genera le traslazioni: è la misura «alla von Neumann», $|\psi_n\rangle\otimes|\phi\rangle\mapsto|\psi_n\rangle\otimes|\phi_{y_n}\rangle$.

Norsen controlla anche le approssimazioni (p. 79). Includere $\hat H_x$ aggiunge solo la fase $e^{-iE_nt/\hbar}$, che per un autostato è globale. Includere $\hat H_y$ allarga di poco il pacchetto. Niente di essenziale cambia.

Secondo caso: la particella è in una sovrapposizione

Adesso partiamo dallo stato (3.4). Per la linearità del terzo fatto del ripasso, ogni termine della somma evolve come nel primo caso (Norsen, pp. 79-80):

Il libro lascia come esercizio (Project 3.1) la verifica che (3.20) risolva l'equazione; eccola. A sinistra, $\partial_t\Psi=\sum_ic_i\psi_i(x)\,(-\lambda E_i)\,\phi'(y-\lambda E_it)$. A destra, $-\lambda\hat H_x\partial_y\Psi=-\lambda\sum_ic_i\,(\hat H_x\psi_i)\,\phi'(y-\lambda E_it)=-\lambda\sum_ic_iE_i\psi_i(x)\,\phi'(y-\lambda E_it)$. Sono uguali termine per termine.

La figura mostra la distribuzione di probabilità della lancetta prima e dopo, con pesi $|c_1|^2=0{,}5$, $|c_2|^2=0{,}3$, $|c_3|^2=0{,}2$ e la stessa scala nei due pannelli. Il conto che la giustifica non è nel libro.

1. La probabilità di trovare la lancetta vicino a $y$, qualunque sia $x$, si ottiene integrando su $x$: $P(y)=\int|\Psi(x,y,T)|^2\,dx$.
2. Sviluppo il modulo quadro della somma (3.20) e porto l'integrale dentro: $$P(y)=\sum_{i,j}c_i^*c_j\,\phi^*(y-y_i)\,\phi(y-y_j)\int\psi_i^*(x)\psi_j(x)\,dx,\qquad y_i=y_0+\lambda E_iT.$$
3. Gli autostati dell'energia sono ortonormali, $\int\psi_i^*\psi_j\,dx=\delta_{ij}$ (t8). Restano solo i termini con $i=j$: $$P(y)=\sum_i|c_i|^2\,|\phi(y-y_i)|^2.$$

Se i pacchetti non si sovrappongono, cioè $\lambda|E_i-E_j|T\gg\sigma$, la probabilità di trovare la lancetta vicino a $y_n$ è $|c_n|^2$: le statistiche di Born vengono fuori giuste. Lo stato però contiene tutti e tre i pacchetti insieme. Non è nemmeno possibile dire che la particella ha uno stato e la lancetta un altro, perché lo stato (3.20) è entangled. La prova è mia: se fosse $\Psi=f(x)\,g(y)$, proiettando su $\psi_j$, cioè moltiplicando per $\psi_j^*(x)$ e integrando su $x$, si avrebbe $c_j\,\phi(y-y_j)=\big(\int\psi_j^*f\,dx\big)\,g(y)$ per ogni $j$. Con due coefficienti diversi da zero, $\phi(y-y_1)$ e $\phi(y-y_2)$ dovrebbero essere entrambe proporzionali alla stessa $g$, ma sono gaussiane centrate in punti diversi.

Norsen descrive la situazione così: la particella non ha un'energia definita, la lancetta non ha una posizione definita, e l'interazione ha «infettato» la lancetta con l'ambiguità quantistica (pp. 79-80). Il postulato del collasso avrebbe dato invece $\psi_n(x)\,\phi(y-y_n)$, un solo termine, con probabilità $|c_n|^2$. Le due regole danno risultati diversi per lo stesso processo fisico.

Aggiungere anelli alla catena non aiuta. Se un terzo sistema di coordinata $z$ (un circuito, un occhio, un registratore) legge la lancetta, si chiede che sugli autostati valga $\psi_n\phi(y)\chi_0(z)\to\psi_n\phi(y-\lambda E_nT)\chi_n(z)$, e la linearità dà (Norsen, pp. 80-81)

Ogni nuovo grado di libertà viene infettato a sua volta.

La stessa conclusione con la matrice densità

Weinberg (pp. 110-111) dice la stessa cosa in modo più compatto, con un oggetto che a lezione non avete ancora visto: la matrice densità.

Che cosa fa una misura secondo il postulato del collasso? Misuriamo un'osservabile con autostati ortonormali $|\alpha\rangle$ e proiettori $\Pi_\alpha=|\alpha\rangle\langle\alpha|$. Ogni componente $|\psi_r\rangle$ finisce in $|\alpha\rangle$ con probabilità $|\langle\alpha|\psi_r\rangle|^2$, quindi la matrice densità dopo la misura, contando tutti gli esiti, è (Weinberg, eq. 3.7.2, p. 110)

1. Il primo uguale è la definizione: il proiettore $\Pi_\alpha$ compare con la probabilità totale di finire in $|\alpha\rangle$.
2. Secondo uguale: $\sum_r P_r|\langle\alpha|\psi_r\rangle|^2=\sum_r P_r\langle\alpha|\psi_r\rangle\langle\psi_r|\alpha\rangle=\langle\alpha|\rho|\alpha\rangle=\mathrm{Tr}(\rho\,\Pi_\alpha)$.
3. Terzo uguale: $\Pi_\alpha\rho\,\Pi_\alpha=|\alpha\rangle\langle\alpha|\rho|\alpha\rangle\langle\alpha|=\langle\alpha|\rho|\alpha\rangle\,\Pi_\alpha$, perché $\langle\alpha|\rho|\alpha\rangle$ è un numero.

L'evoluzione di Schrödinger invece porta ogni $|\psi_r\rangle$ in $U|\psi_r\rangle$, con $U=e^{-iH(t'-t)/\hbar}$ unitario, e quindi (eq. 3.7.3, p. 111)

Weinberg afferma che nessuna hamiltoniana può portare ogni $\rho$ nella forma $\sum_\alpha\Pi_\alpha\rho\,\Pi_\alpha$. Il motivo si vede dagli autovalori, come osserva lui stesso poco prima (p. 109, dopo l'eq. 3.6.24): $U\rho\,U^\dagger$ ha gli stessi autovalori di $\rho$, perché se $\rho|v\rangle=\lambda|v\rangle$ allora $(U\rho\,U^\dagger)(U|v\rangle)=\lambda\,U|v\rangle$. La misura invece li cambia. Un esempio con la polarizzazione (questo conto non è nel libro): parti dallo stato puro $|D\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(|H\rangle+|V\rangle)$,

e misura nella base $\{|H\rangle,|V\rangle\}$. La formula del collasso cancella i termini fuori diagonale:

Da uno stato puro si è passati a una miscela, e nessun $U$ unitario può farlo, perché conserva gli autovalori. È lo stesso problema del modello di von Neumann visto dall'alto: l'equazione di Schrödinger da sola non produce mai il collasso.

I tre aspetti del problema

1. Vaghezza. I postulati parlano di «misura», un concetto umano e sfocato. Bell chiede chi o che cosa sia qualificato a fare da misuratore, e definisce la formulazione abituale «non professionalmente vaga» (Norsen, pp. 75-76, 91).
2. Dualismo. Anche se si fissasse un confine netto, resterebbe una teoria con due leggi del moto, una per i sistemi lasciati a sé e una per le misure, e con il mondo diviso in due regni. Bell parla di un taglio che si sposta a piacere, lo «shifty split» (Norsen, pp. 91-92).
3. Il gatto. Se si tolgono i postulati sulla misura e si tiene solo l'equazione di Schrödinger, la teoria è coerente ma prevede lancette sfocate e gatti sovrapposti. Con il collasso gli esiti definiti ci sono, ma introdotti a mano (Norsen, p. 92).

La sintesi di Norsen è che il collasso non si può tenere tra gli assiomi di una teoria fondamentale, non si può eliminare, e come vedremo nella sezione 4 non si può ridurre a un aggiornamento della nostra conoscenza (pp. 92-93).

3Il gatto di Schrödinger e la bomba di Einstein

Schrödinger illustrò il problema nel 1935 con esempi sempre più vistosi. Il primo è una particella α emessa da un nucleo. Per la meccanica quantistica è un'onda sferica, ma lo schermo fluorescente si illumina in un solo punto, e in una camera a nebbia la particella lascia una traccia rettilinea (Norsen, pp. 81-82). Lo schema formale è identico a quello della sezione 2. Se la particella parte in una direzione definita $n$, il rivelatore registra quella direzione, $\psi_n\phi_0\to\psi_n\phi_n$ (3.26). L'onda sferica è una sovrapposizione di tutte le direzioni, $\psi_{sph}\sim\sum_i\psi_i$ (3.27), e per linearità (Norsen, pp. 82-83)

Nessuna direzione viene scelta.

Poi il gatto. In una scatola ci sono un atomo radioattivo che in un'ora decade con probabilità $\tfrac12$, un contatore Geiger, un martello e una fiala di acido cianidrico. Se l'atomo decade, il contatore scatta, il martello rompe la fiala e il gatto muore. Dopo un'ora l'atomo da solo è nello stato (Norsen, p. 83)

Trattando con l'equazione di Schrödinger anche fiala e gatto, la linearità dà la catena (3.25) con tre fattori:

Per Born la probabilità di trovare il gatto vivo è il modulo quadro del coefficiente del termine con $\chi_{\rm vivo}$, cioè $|1/\sqrt2|^2=\tfrac12$. Fin qui nulla di strano. Lo stato però, letto come descrizione completa, contiene il gatto vivo e il gatto morto insieme, in parti uguali.

Einstein aveva proposto a Schrödinger una variante in una lettera dell'8 agosto 1935: una carica di polvere da sparo chimicamente instabile, che può esplodere spontaneamente con vita media di un anno. Dopo un anno la funzione d'onda è una miscela di sistema esploso e non esploso, mentre nella realtà non c'è nulla di intermedio tra le due cose (Norsen, p. 84). In una lettera successiva Einstein indica le due vie possibili: o la funzione d'onda descrive completamente la realtà, e allora il gatto non è né vivo né morto, oppure descrive la nostra conoscenza, come aveva proposto Born. Il 4 settembre conclude che lui e Schrödinger sono d'accordo: la funzione d'onda va associata a un insieme statistico di sistemi (Norsen, pp. 84-85).

Bell propose una versione più gentile: al posto del veleno una ciotola di latte, e un gatto che alla fine è grasso o magro, sempre vivo (Norsen, pp. 85-86, Fig. 3.4). Il problema resta identico, perché la sovrapposizione riguarda comunque due stati macroscopici ben distinti.

4Perché l'interpretazione di ignoranza non funziona

La via d'uscita più naturale è questa. Lo stato $\psi_0=c_1\psi_1+c_2\psi_2+c_3\psi_3$ (3.31) significherebbe che la particella è in $\psi_1$ oppure in $\psi_2$ oppure in $\psi_3$, e che noi non sappiamo quale. Le probabilità $|c_i|^2$ misurerebbero la nostra ignoranza, come quando diciamo che una moneta già caduta sotto il tavolo è testa con probabilità $\tfrac12$. Il collasso sarebbe un aggiornamento delle informazioni, e il gatto sarebbe vivo o morto prima che qualcuno apra la scatola (Norsen, pp. 87-88). Ci sono due obiezioni.

Prima obiezione: l'interferenza

È la distinzione tra stato puro e miscela della tappa t13. Se lo stato fosse una miscela, con probabilità $|c_i|^2$ di essere $\psi_i$, la probabilità di un esito $q$ di qualsiasi altra misura sarebbe la media delle probabilità:

Per lo stato puro, invece, si sommano le ampiezze e poi si fa il modulo quadro:

La seconda somma è il termine d'interferenza. Nella doppia fenditura, con $\psi=\tfrac{1}{\sqrt2}[\psi_{\rm fend.\,1}+\psi_{\rm fend.\,2}]$ (3.32), se ogni elettrone passasse da una fenditura definita la figura sarebbe la somma delle due campane, senza frange (Norsen, p. 89). Le frange ci sono, quindi l'elettrone non passa da una fenditura definita che noi ignoriamo. Per Norsen l'interferenza mostra in modo conclusivo che la funzione d'onda è qualcosa di fisico (p. 89).

Lo stesso confronto con la polarizzazione, conto mio. Prendi il fotone $|D\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(|H\rangle+|V\rangle)$ e una miscela al 50% di fotoni $|H\rangle$ e $|V\rangle$. Su un polarizzatore orizzontale le due preparazioni danno la stessa probabilità di passare, $\tfrac12$. Su un polarizzatore a $45°$ la legge di Malus dà, per lo stato puro, $|\langle D|D\rangle|^2=1$; per la miscela, $\tfrac12|\langle D|H\rangle|^2+\tfrac12|\langle D|V\rangle|^2=\tfrac12\cdot\tfrac12+\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac12$. Un esperimento distingue le due cose, quindi $|D\rangle$ non è un fotone che «in realtà» è $H$ o $V$.

Seconda obiezione: i teoremi contro le variabili nascoste

Una versione più raffinata dell'ignoranza dice che ogni particella ha già, prima della misura, un valore definito per ogni osservabile, fissato da variabili che la teoria non contiene, le variabili nascoste. Norsen mostra con lo spin perché la versione ingenua di questa idea fallisce (pp. 89-90). Prendiamo l'asse $\hat n$ a $45°$ tra $x$ e $z$. Con $\theta=45°$:

1. Gli autovalori di $\hat\sigma_n$ sono $\pm1$, come per ogni componente dello spin. Lo verifico (conto mio) calcolando il quadrato: $\hat\sigma_n^2=\tfrac12\big(\hat\sigma_x^2+\hat\sigma_z^2+\hat\sigma_x\hat\sigma_z+\hat\sigma_z\hat\sigma_x\big)$. Si ha $\hat\sigma_x^2=\hat\sigma_z^2=\mathbb 1$, e $$\hat\sigma_x\hat\sigma_z=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\qquad \hat\sigma_z\hat\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},$$ che si cancellano. Quindi $\hat\sigma_n^2=\mathbb 1$ e gli autovalori $s$ soddisfano $s^2=1$.
2. Ipotesi delle variabili nascoste ingenue: ogni particella ha valori $s_x,s_z,s_n\in\{+1,-1\}$, e questi valori obbediscono alla stessa relazione lineare degli operatori. La motivazione è che i valori medi la rispettano, $\langle\hat\sigma_n\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(\langle\hat\sigma_x\rangle+\langle\hat\sigma_z\rangle)$ in ogni stato, e si suppone che lo faccia ogni singolo membro dell'insieme. Ne segue (Norsen, p. 90) $$s_n=\frac{1}{\sqrt2}\big[s_x+s_z\big].\qquad(3.36)$$
3. Ma $s_x+s_z\in\{-2,0,+2\}$, quindi $s_n\in\{-\sqrt2,0,+\sqrt2\}$, e nessuno di questi valori è $\pm1$. Contraddizione.

Un piccolo refuso: a p. 89 il libro scrive «$s_x$, $s_y$ e $s_n$», ma intende $s_x$, $s_z$, $s_n$, come conferma (3.36).

L'argomento è parente della dimostrazione di von Neumann del 1932, che spinse molti verso Copenhagen. Grete Hermann la criticò nel 1935 senza seguito; Bell la giudicò sciocca (Norsen, p. 90). Il passaggio illegittimo è il secondo: la relazione lineare vale per le medie, ma imporla ai singoli valori di operatori che non commutano, $[\hat\sigma_x,\hat\sigma_z]\neq0$, non ha giustificazione. Per misurare $\hat\sigma_n$ si orienta il magnete di Stern e Gerlach in una terza direzione: è un esperimento diverso, e nessuno garantisce che il suo esito sia la combinazione degli esiti degli altri due.

Bell lo mostra costruendo un modello a variabili nascoste per un solo spin che riproduce tutte le previsioni quantistiche (Bell, art. 1, p. 14). Con una rotazione si porta lo stato in $\psi=\binom10$. Un'osservabile generica è $\alpha+\boldsymbol\beta\cdot\boldsymbol\sigma$, con $\alpha$ reale e $\boldsymbol\beta$ vettore reale, e ha autovalori $\alpha\pm|\boldsymbol\beta|$. La variabile nascosta è un numero $\lambda$ distribuito uniformemente in $[-\tfrac12,\tfrac12]$, e l'esito della misura è

dove $X=\beta_z$ se $\beta_z\neq0$ (altrimenti $\beta_x$, o $\beta_y$), e $\mathrm{sign}\,X=+1$ per $X\ge0$, $-1$ per $X<0$. I passaggi della media sono completati da me sulla traccia di Bell.

1. Per ogni $\lambda$ fissato l'esito è $\alpha+|\boldsymbol\beta|$ oppure $\alpha-|\boldsymbol\beta|$: sempre un autovalore, quindi ogni coppia $(\psi,\lambda)$ dà un valore definito a ogni osservabile.
2. Il primo segno vale $+1$ quando $\lambda>-|\beta_z|/(2|\boldsymbol\beta|)$, su un intervallo di lunghezza $\tfrac12+|\beta_z|/(2|\boldsymbol\beta|)$, e $-1$ sul resto, di lunghezza $\tfrac12-|\beta_z|/(2|\boldsymbol\beta|)$. La sua media è la differenza, $|\beta_z|/|\boldsymbol\beta|$.
3. La media dell'esito è quindi $\alpha+|\beta_z|\,\mathrm{sign}\,X=\alpha+\beta_z$, che è proprio il valore quantistico $\langle\psi|(\alpha+\boldsymbol\beta\cdot\boldsymbol\sigma)|\psi\rangle$ per $\psi=\binom10$.

Un controllo numerico mio con l'asse a $45°$: $\boldsymbol\beta=(\tfrac{1}{\sqrt2},0,\tfrac{1}{\sqrt2})$, $|\boldsymbol\beta|=1$. L'esito è $+1$ quando $\lambda>-\tfrac{1}{2\sqrt2}\approx-0{,}354$, cioè con probabilità $0{,}854$, che è $\cos^2(22{,}5°)$ come prevede la meccanica quantistica. Con $\lambda=0$ il modello assegna $s_z=+1$, $s_x=+1$ e $s_n=+1$, mentre $(s_x+s_z)/\sqrt2=\sqrt2$: la relazione (3.36) è violata, ed è proprio per questo che il modello funziona.

La conclusione di Norsen è doppia (pp. 90-91). L'interpretazione di ignoranza ingenua, con un valore prefissato per ogni osservabile indipendente da come la si misura, non regge, e teoremi successivi con ipotesi più ragionevoli lo confermano. Resta possibile una teoria a variabili nascoste contestuale, in cui l'esito dipende anche dall'apparato: è la teoria dell'onda pilota dell'epoca B, in cui la variabile nascosta è la posizione della particella e lo spin non ha un valore prefissato.

5Il problema della località

La seconda obiezione alla completezza viene da Einstein. Immagina un elettrone che passa da un forellino e arriva su uno schermo emisferico. La sua funzione d'onda si allarga e raggiunge tutto lo schermo, ma il lampo compare in un solo punto. Se la funzione d'onda è tutto ciò che c'è, nell'istante in cui il lampo compare in un punto la «nuvola» deve perdere ovunque, istantaneamente, la capacità di produrre un lampo altrove. Un segnale alla velocità della luce non basterebbe: potrebbe arrivare tardi e lasciare il tempo per un secondo lampo, che non si osserva mai (Norsen, pp. 100-101).

Le scatole di Einstein

In una lettera a Schrödinger del 1935 Einstein semplifica l'esempio. Una pallina sta in una scatola divisa in due metà da una parete; le metà vengono separate e portate lontane. La funzione d'onda è (Norsen, p. 104)

Le due parti non sono normalizzate da sole: è la somma a esserlo. Norsen formalizza l'argomento con la località di Bell (pp. 104-106). Sia $A=+1$ se la particella viene trovata nella scatola di sinistra e $A=0$ se no; $B$ è l'analogo per la scatola di destra, lontana. $C$ è la specificazione completa di una fetta del cono passato di $A$; se la teoria è completa, $C$ contiene $\psi_L$ e i dettagli dell'apparato. Con Born e il collasso:

Un controllo di coerenza, che non è nel libro: per la legge delle probabilità totali, $P(A{=}{+}1|C)=P(A{=}{+}1|C,B{=}{+}1)\,P(B{=}{+}1|C)+P(A{=}{+}1|C,B{=}0)\,P(B{=}0|C)=0\cdot\tfrac12+1\cdot\tfrac12=\tfrac12$. I tre numeri sono coerenti, e la dipendenza da $B$ è esattamente la violazione

Attenzione alla portata della conclusione. Ciò che viola la località è la teoria «meccanica quantistica completa con collasso»; l'argomento da solo non dice nulla sulla natura. Il dilemma è località oppure completezza: una teoria in cui la pallina è già in una delle due metà, e la funzione d'onda esprime solo che non sappiamo quale, salva la località (Norsen, p. 106). Heisenberg ammise che il collasso agisce più veloce della luce, ma osservò che non permette di mandare segnali; Norsen giudica dubbia questa difesa, perché per Einstein la relatività vieta l'azione a distanza in sé, non solo la telefonia superluminale (pp. 102-103).

L'argomento EPR

L'articolo di Einstein, Podolsky e Rosen del 1935 ha la stessa struttura: la completezza implica la non-località, quindi chi crede nella località deve rinunciare alla completezza (Norsen, p. 107). L'ingrediente nuovo è il criterio di realtà: se, senza disturbare in alcun modo un sistema, si può prevedere con certezza il valore di una grandezza, allora esiste un elemento di realtà corrispondente a quella grandezza (Norsen, pp. 107-108). Norsen lo illustra con due bicchieri gemelli: per sapere se il bicchiere nella scatola è intatto puoi aprire la scatola, oppure guardare il suo gemello nell'armadio, che ha subito la stessa sorte, senza toccare la scatola (p. 108).

Lo stato EPR, nella forma semplificata di Norsen, è una funzione d'onda di due particelle in una dimensione concentrata sulla retta $x_1=x_2$ (p. 108):

1. La seconda uguaglianza segue dal campionamento: integrando su $x$, la $\delta(x_1-x)$ pone $x=x_1$ nella $\delta(x_2-x)$, che diventa $\delta(x_2-x_1)=\delta(x_1-x_2)$ perché la delta è pari.
2. Letta da destra, (4.6) è una sovrapposizione di stati prodotto «particella 1 in $x$, particella 2 in $x$», su tutti gli $x$. In notazione di Dirac (traduzione mia): $|\Psi\rangle=\int|x\rangle_1\otimes|x\rangle_2\,dx$. Le due posizioni sono indefinite ma perfettamente correlate.
3. Se si misura la posizione della particella 1 e si trova $X$, il collasso tiene il solo termine con $x=X$ (Norsen, p. 110): $\Psi\to\delta(x_1-X)\,\delta(x_2-X)$. La particella 2, lontana e mai toccata, ha ora la funzione d'onda (Norsen, p. 111) $$\psi_2=\delta(x_2-X).\qquad(4.8)$$

Lo stesso stato si può riscrivere con le onde piane, ponendo $u=x_1-x_2$ nella rappresentazione di Fourier (Norsen, p. 109):

1. Ogni termine $e^{ikx_1}e^{-ikx_2}$ è un prodotto di autostati dell'impulso, con $p_1=\hbar k$ e $p_2=-\hbar k$. Lo stesso stato ha quindi impulsi perfettamente anticorrelati, $p_1=-p_2$.
2. Se si misura l'impulso della particella 1 e si trova $P$, il collasso tiene il solo termine con $\hbar k=P$: $\Psi\to\frac{1}{2\pi}e^{iPx_1/\hbar}e^{-iPx_2/\hbar}$, e la particella 2 ha la funzione d'onda (Norsen, p. 111) $$\psi_2=e^{-iPx_2/\hbar}.\qquad(4.9)$$
3. Verifica mia che sia autostato dell'impulso con valore $-P$: $-i\hbar\frac{d}{dx_2}e^{-iPx_2/\hbar}=-i\hbar\cdot\big(-\tfrac{iP}{\hbar}\big)e^{-iPx_2/\hbar}=-P\,e^{-iPx_2/\hbar}$.

Ecco l'argomento. Misurando la particella 1 si può prevedere con certezza la posizione della 2, oppure, con una misura diversa, il suo impulso, e tutto senza disturbarla, perché è lontana. Per il criterio di realtà la particella 2 ha sia una posizione definita sia un impulso definito. Nessuna funzione d'onda può descriverli entrambi, perché non esistono autostati comuni di $\hat x$ e $\hat p$ (Norsen, pp. 109-110). La dimostrazione è un esercizio del libro (Projects 4.3-4.4); eccola.

1. Su una funzione qualsiasi $f(x)$: $[\hat x,\hat p]f=x(-i\hbar f')-(-i\hbar)(xf)'=-i\hbar xf'+i\hbar f+i\hbar xf'=i\hbar f$. Quindi $[\hat x,\hat p]=i\hbar$.
2. Se $\psi$ fosse autostato di entrambi, $\hat x\psi=a\psi$ e $\hat p\psi=b\psi$, allora $i\hbar\,\psi=(\hat x\hat p-\hat p\hat x)\psi=(ab-ba)\psi=0$, e quindi $\psi=0$, che non è uno stato.

Lo stato (4.6) non è normalizzabile: è un'idealizzazione, come gli autostati $|x\rangle$ e $|p\rangle$ che usiamo a lezione. L'argomento si può rifare con pacchetti stretti.

Che cosa conclude Einstein? Nelle sue versioni dell'argomento, la posizione e l'impulso insieme non gli interessavano (Norsen, p. 115). Il punto è un altro. Le due funzioni d'onda (4.8) e (4.9) sono diverse, ma descrivono la stessa situazione reale della particella 2, perché per la località quella situazione non può dipendere da quale misura si sceglie di fare sulla particella 1. Una descrizione completa dovrebbe essere in corrispondenza biunivoca con lo stato reale; qui la stessa realtà ha due descrizioni, quindi la funzione d'onda non è completa (Norsen, p. 113). Nel 1949 Einstein formula il dilemma così: bisogna rinunciare o alla completezza della funzione d'onda o all'indipendenza degli stati reali di oggetti separati nello spazio (Norsen, p. 115). Norsen ne ricava che per Einstein la casualità quantistica nasce dall'incompletezza, e che per lui il determinismo discende dalla località (p. 114). Bell dirà lo stesso: in EPR il determinismo non è un'ipotesi, è dedotto (Norsen, p. 120).

La versione di Bohm con lo spin

Nel 1951 Bohm riformulò EPR con lo spin, che è più semplice da trattare (Norsen, pp. 115-116). Una molecola con spin totale zero si spezza in due atomi di spin 1/2 che volano in direzioni opposte. Il loro stato di spin è il singoletto (Norsen, p. 117):

Il libro scrive i prodotti affiancati, senza $\otimes$. Nella notazione del ripasso della sezione 2 è $|\Psi\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}\big(|{+z}\rangle_1|{-z}\rangle_2-|{-z}\rangle_1|{+z}\rangle_2\big)$. La regola di Born congiunta dice che la probabilità di una coppia di esiti è il modulo quadro del coefficiente del termine corrispondente. Lungo $z$: $P({+},{-})=P({-},{+})=\tfrac12$ e $P({+},{+})=P({-},{-})=0$. Ciascun esito da solo è al 50%, ma i due esiti sono sempre opposti.

Il punto di Bohm è che l'anticorrelazione vale lungo qualunque asse, e l'osservatore può scegliere l'asse mentre gli atomi sono in volo (Norsen, p. 117). Verifichiamolo lungo $x$: è il Project 4.10 del libro, e il conto è mio.

1. Inverto le relazioni $\psi_{\pm x}=\tfrac{1}{\sqrt2}(\psi_{+z}\pm\psi_{-z})$: $\psi_{+z}=\tfrac{1}{\sqrt2}(\psi_{+x}+\psi_{-x})$ e $\psi_{-z}=\tfrac{1}{\sqrt2}(\psi_{+x}-\psi_{-x})$.
2. Scrivo $|{+}{-}\rangle$ per $|{+x}\rangle_1|{-x}\rangle_2$ e così via, e sviluppo i due prodotti: $$\psi^1_{+z}\psi^2_{-z}=\tfrac12\big(|{+}{+}\rangle-|{+}{-}\rangle+|{-}{+}\rangle-|{-}{-}\rangle\big),\qquad \psi^1_{-z}\psi^2_{+z}=\tfrac12\big(|{+}{+}\rangle+|{+}{-}\rangle-|{-}{+}\rangle-|{-}{-}\rangle\big).$$
3. Sottraggo: i termini $|{+}{+}\rangle$ e $|{-}{-}\rangle$ si cancellano e resta $$\Psi=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\tfrac12\big(-2|{+}{-}\rangle+2|{-}{+}\rangle\big)=-\frac{1}{\sqrt2}\big(\psi^1_{+x}\psi^2_{-x}-\psi^1_{-x}\psi^2_{+x}\big).$$
4. È la stessa forma di (4.10), a meno della fase globale $-1$, che non cambia nessuna probabilità. Anche lungo $x$ gli esiti sono sempre opposti. Il Project 4.11 estende il risultato a un asse qualsiasi $\hat n$.

Il segno meno conta (Norsen, pp. 117-118). Rifacendo il conto con il più, $\tfrac{1}{\sqrt2}(\psi^1_{+z}\psi^2_{-z}+\psi^1_{-z}\psi^2_{+z})$, i termini misti si cancellano e restano $|{+}{+}\rangle-|{-}{-}\rangle$ nella base $x$: lungo $x$ gli esiti sarebbero uguali, non opposti. Solo il singoletto ha spin totale nullo lungo ogni asse.

L'argomento è quello di EPR. Misurando lo spin della particella 1 lungo $z$ si conosce con certezza quello della 2 lungo $z$; misurandolo lungo $x$ si conosce quello della 2 lungo $x$. Per il criterio di realtà la particella 2 ha valori definiti per tutte le componenti, mentre la funzione d'onda ne specifica al massimo una. O quei valori c'erano già, e la funzione d'onda è incompleta, oppure si «cristallizzano» a distanza nel momento della misura sulla 1, e la teoria è non locale (Norsen, pp. 117-118). Bohm nel 1951 non accettava ancora la prima conclusione; nel 1952 costruirà la teoria dell'onda pilota (Norsen, p. 117).

6Il problema dell'ontologia

Il terzo problema riguarda la domanda della sezione 1: se la funzione d'onda è una cosa reale, che tipo di cosa è? Un campo elettrico è un numero (anzi un vettore) in ogni punto dello spazio. Se la funzione d'onda di un elettrone fosse un campo dello stesso tipo, potremmo immaginarla come una nebbia distribuita nello spazio. La difficoltà nasce con due o più particelle.

La complessità non è il problema

Un'obiezione di manuale dice che la funzione d'onda è complessa e quindi non può essere fisica. Norsen la respinge (pp. 126-127). Scrivo $\Psi=f+ig$ con $f,g$ reali (5.2) e la sostituisco nell'equazione di Schrödinger $i\hbar\,\partial_t\Psi=\hat H\Psi$, con $\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V$ reale. I passaggi espliciti sono un completamento del digest.

1. A sinistra: $i\hbar(\partial_tf+i\,\partial_tg)=-\hbar\,\partial_tg+i\hbar\,\partial_tf$.
2. A destra, poiché $\hat H$ è reale: $\hat Hf+i\,\hat Hg$.
3. Uguaglio parte reale e parte immaginaria: $$-\hbar\frac{\partial g}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2f+Vf,\qquad \hbar\frac{\partial f}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2g+Vg.\qquad(5.3),\ (5.4)$$

Un campo complesso è la stessa cosa di due campi reali accoppiati, come $\vec E$ e $\vec B$ nelle equazioni di Maxwell. La complessità quindi non impedisce di prendere $\Psi$ sul serio (Norsen, pp. 128-129).

Il vero problema: lo spazio delle configurazioni

Per una particella la funzione d'onda è $\psi(\vec x,t)$, un numero complesso per ogni punto dello spazio: assomiglia a un campo. Per $N$ particelle non ci sono $N$ funzioni d'onda, una per particella. C'è una sola funzione (Norsen, pp. 64, 141)

che obbedisce all'equazione di Schrödinger a $N$ corpi $i\hbar\,\partial_t\Psi=\sum_i-\frac{\hbar^2}{2m_i}\nabla_i^2\Psi+V(\vec x_1,\dots,\vec x_N)\Psi$ (Norsen, p. 64). Il suo argomento è un punto dello spazio delle configurazioni, lo spazio di tutte le configurazioni congiunte delle $N$ particelle, che ha $3N$ dimensioni. In meccanica classica lo spazio delle configurazioni è solo un modo comodo di disegnare le cose: due particelle ferme su una retta sono un solo punto nel piano $(x_1,x_2)$, e un urto elastico è un punto che rimbalza sulla diagonale $x_1=x_2$ (Norsen, pp. 40-41). Norsen avverte di non confondere lo spazio astratto con lo spazio fisico: non ha senso chiedersi di che cosa sia fatta quella diagonale (p. 42).

In meccanica quantistica però la funzione d'onda è un «campo» proprio su quello spazio astratto. Un punto dello spazio delle configurazioni rappresenta $N$ particelle; non è chiaro che cosa rappresenti un campo su di esso (Norsen, p. 132). Per un'idea delle dimensioni, conto mio: due particelle danno 6 dimensioni; un grammo di idrogeno, circa $6\times10^{23}$ atomi con un protone e un elettrone ciascuno, dà circa $3\times2\times6\times10^{23}\approx4\times10^{24}$ dimensioni.

Norsen formula così il problema ontologico: in meccanica quantistica non c'è nient'altro che $\Psi$ per descrivere lo stato, e non è chiaro come $\Psi$ descriva strutture materiali nello spazio a tre dimensioni (p. 133). Anche lo stato prodotto innocuo della sezione 2, $\psi_n(x)\,\phi(y-\lambda E_nT)$, letto alla lettera è una macchia nel piano astratto $(x,y)$, e non somiglia a due particelle su una retta (Norsen, pp. 134-135). In meccanica classica si parte dall'ontologia e poi la si rappresenta in uno spazio astratto; in meccanica quantistica abbiamo solo la rappresentazione astratta (Norsen, p. 135).

Ontologia e località: «nemmeno non locale»

Il problema ontologico rende persino difficile porre la domanda sulla località (Norsen, pp. 136-139). Prendi il singoletto (5.19), che è lo stato (4.10), e applica la condizione di Bell con $A$ = «particella 1 su lungo $z$» e $B$ = «particella 2 su lungo $z$». Con Born, conto esplicito mio:

1. $P(A)=P({+},{+})+P({+},{-})=0+\tfrac12=\tfrac12$.
2. $P(A\text{ e }B)=P({+},{+})=0$ e $P(B)=P({+},{+})+P({-},{+})=\tfrac12$.
3. $P(A\,|\,B)=P(A\text{ e }B)/P(B)=0$.

Sembra una violazione di $P[A|C]=P[A|C,B]$, con $\tfrac12$ contro 0. Ma che cos'è $C$? Dovrebbe essere lo stato fisico completo nella regione vicina alla particella 1, e per particelle entangled non esiste «la funzione d'onda della particella 1». Norsen lo illustra con due stanze lontane un milione di miglia, a ovest e a est (p. 137):

La particella 1 è nella stanza ovest, a sinistra o a destra; la 2 è nella stanza est, dallo stesso lato della 1. Non si può assegnare una funzione d'onda alla sola stanza ovest. Le matrici densità ridotte esistono, nota Norsen, ma le due insieme perdono la correlazione e non ricostruiscono (5.21) (p. 137, nota 1).

Le conclusioni di Norsen sono tre (pp. 138-139). La teoria era già stata diagnosticata come non locale con le scatole di Einstein, dove la particella è una sola. (A p. 136 il libro scrive che questo è stato mostrato «nel cap. 3»; dal contesto e dal rimando a p. 138 si tratta del cap. 4, quindi è un refuso.) Non poter applicare la definizione non significa essere locali: senza un'ontologia locale chiara la teoria è, nelle sue parole, «not even non-local», meno locale ancora della gravità di Newton, che almeno ha un'ontologia locale. Infine si può allargare $C$ fino a includere lo stato su una fetta che copre tutto l'universo, cioè $C=\Psi$; allora

e la teoria risulta non locale.

La proposta di Schrödinger: una densità nello spazio a tre dimensioni

Schrödinger propose di dare significato fisico a $|\Psi|^2$ invece che a $\Psi$, trasformandolo in una densità di carica nello spazio ordinario (Norsen, pp. 140-141). Per la particella $i$ si integra su tutte le coordinate delle altre e si moltiplica per la sua carica $q_i$; poi si somma sulle particelle:

La delta rende banale l'integrale su $\vec x_i$ e sostituisce $\vec x_i$ con il punto fisico $\vec x$. Il risultato è un campo vero nello spazio a tre dimensioni. Norsen mostra che non basta con un controesempio (pp. 141-144). Una scatola unidimensionale è divisa in due metà lontane, di larghezza $L$, una in $0<x<L$ e l'altra in $d<x<d+L$. Gli stati fondamentali delle due metà sono

nulli altrove, e $\psi_{L+R}=\tfrac{1}{\sqrt2}[\psi_L+\psi_R]$ (5.30). Ci sono due particelle distinguibili con la stessa carica $q$, per esempio un elettrone e un muone, in uno di tre stati (Norsen, pp. 142-143):

In $A$ la particella 1 è a sinistra e la 2 a destra. In $B$ ciascuna è sparsa a metà tra le due parti, senza correlazione. In $C$ ciascuna è sparsa a metà, ma le due sono perfettamente anticorrelate: stanno certamente in parti diverse, anche se nessuna ha una posizione definita. Il calcolo delle densità è il Project 5.14; i passaggi sono miei. Uso un solo fatto: $\psi_L$ e $\psi_R$ non sono mai diverse da zero nello stesso punto, quindi $\psi_L(x)\psi_R(x)=0$ per ogni $x$, e ciascuna è normalizzata.

1. In una dimensione $\rho_1(x)=q\int|\Psi(x,x_2)|^2\,dx_2$ e $\rho_2(x)=q\int|\Psi(x_1,x)|^2\,dx_1$.
2. Stato $A$. $|\psi_A|^2=|\psi_L(x_1)|^2|\psi_R(x_2)|^2$, quindi $\rho_1=q|\psi_L(x)|^2$ e $\rho_2=q|\psi_R(x)|^2$.
3. Stato $B$. Prima la normalizzazione: $\int|\psi_{L+R}|^2=\tfrac12(1+1+0)=1$. Poi $\rho_1=\rho_2=q|\psi_{L+R}(x)|^2=\tfrac q2\big(|\psi_L|^2+|\psi_R|^2+2\,\mathrm{Re}\,\psi_L^*\psi_R\big)=\tfrac q2\big(|\psi_L(x)|^2+|\psi_R(x)|^2\big)$, perché il prodotto misto è nullo in ogni punto.
4. Stato $C$. Sviluppo il modulo quadro: $$|\psi_C|^2=\tfrac12\Big[|\psi_L(x_1)|^2|\psi_R(x_2)|^2+|\psi_R(x_1)|^2|\psi_L(x_2)|^2+2\,\mathrm{Re}\big(\psi_L^*(x_1)\psi_R(x_1)\,\psi_R^*(x_2)\psi_L(x_2)\big)\Big].$$ Il termine misto contiene $\psi_L^*(x_1)\psi_R(x_1)=0$. Integrando su $x_2$ con la normalizzazione: $\rho_1=\tfrac q2\big(|\psi_L(x)|^2+|\psi_R(x)|^2\big)$, e lo stesso per $\rho_2$.
5. Totale. In tutti e tre i casi $\rho_{\rm tot}(x)=q\big(|\psi_L(x)|^2+|\psi_R(x)|^2\big)$.

Eppure i tre stati sono fisicamente diversi, e un esperimento li distingue. Conto mio: la probabilità che entrambe le particelle siano nella metà sinistra è $\int_0^L\!\int_0^L|\Psi|^2\,dx_1dx_2$. In $A$ vale 0, perché $\psi_R(x_2)=0$ per $x_2$ a sinistra. In $B$ vale $\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14$, perché ciascuna è a sinistra con probabilità $\tfrac12$ in modo indipendente. In $C$ vale 0, perché nella regione $x_1,x_2<L$ entrambi i termini di $\psi_C$ contengono un $\psi_R$ e si annullano.

La mappa da $\Psi$ a $\rho_{\rm tot}$ è quindi molti-a-uno: stati distinguibili hanno la stessa densità. La densità da sola non può essere tutta l'ontologia, anche se avrà un ruolo in teorie più sofisticate (Norsen, p. 144). Le singole $\rho_i$ distinguono $A$ da $B$ e $C$, ma non $B$ da $C$, che differiscono solo per la correlazione. Schrödinger stesso abbandonò l'idea per un'altra ragione: i pacchetti si allargano nel tempo e le «nuvole» diventano nebbia (Norsen, p. 141).

Non serve invocare la teoria dei campi. In teoria quantistica dei campi le configurazioni definite del campo hanno lo stesso ruolo delle posizioni definite, e uno stato generico è una sovrapposizione di configurazioni, come $\psi(x,t)=\int\psi(a,t)\,\delta(x-a)\,da$ (Norsen, p. 145). Il bilancio di Norsen: misura, località e ontologia rendono insostenibile l'idea che la realtà sia fatta soltanto di $\Psi$ (p. 146).

7I tre problemi e le tre strade

La tabella riassume la pagina e anticipa il percorso. Le caselle delle tre teorie sono una sintesi mia di ciò che le epoche successive mostrano con i conti; la mappa delle soluzioni di partenza è quella di Norsen (p. 93).

L'epoca C, il teorema di Bell, attraversa tutte le colonne. Le scatole di Einstein ed EPR lasciavano aperta la via delle variabili nascoste locali; Bell mostra che nessuna teoria localmente causale riproduce le correlazioni del singoletto quando gli assi dei due apparati sono diversi (Bell, art. 7, pp. 66-70). Per Norsen e Bell la non-località smette così di essere un difetto di un'interpretazione e diventa un fatto che ogni teoria deve accettare.