Lezione 2 · quaderno pp. 45-47

Rappresentazioni

Come si traducono stati e operatori in numeri, che cosa succede ai numeri quando cambi base, e come nasce la funzione d'onda dalla base delle posizioni.

Dove eravamo e dove andiamo

Finora abbiamo lavorato con oggetti astratti: il ket $|\psi\rangle$, l'operatore $A$. Per fare un conto vero, però, servono numeri. Questa lezione risponde a una sola domanda: come si trasforma un oggetto astratto in numeri, e che cosa succede ai numeri se cambio il modo di trasformarlo.

1L'idea: la stessa freccia, griglie diverse

L'analogia. Disegna una freccia su un foglio. Se metti gli assi $x,y$ in orizzontale e in verticale, la freccia ha certe coordinate, per esempio $(1, 0)$. Se ruoti gli assi di $45°$, la stessa freccia ha coordinate diverse, $(\tfrac1{\sqrt2}, -\tfrac1{\sqrt2})$. La freccia non si è mossa: è cambiato solo il modo di descriverla.

In meccanica quantistica è uguale. Il ket $|\psi\rangle$ è la freccia, cioè lo stato fisico del fotone. Una base è una griglia. La rappresentazione è la lista delle coordinate dello stato in quella griglia. Gli appunti (p. 45) la chiamano isomorfismo: lo spazio di Hilbert si traduce parola per parola in

• $\mathbb C^d$, cioè colonne di $d$ numeri complessi, se la dimensione è finita;
• $\ell_2$, cioè successioni infinite con $\sum_i|c_i|^2 \lt \infty$, se la dimensione è infinita ma numerabile.

Che significato fisico ha la scelta della base? Scegliere una base vuol dire scegliere quale domanda fare al fotone. La base $\{|H\rangle, |V\rangle\}$ risponde a «orizzontale o verticale?». La base $\{|D\rangle, |\bar D\rangle\}$, con

risponde a «$+45°$ o $-45°$?». Lo stesso fotone ha coordinate diverse nelle due basi, come la stessa freccia ha coordinate diverse in due griglie.

2Dallo stato ai numeri (p. 45)

La ricetta. Il coefficiente $c_i$ è il prodotto scalare dello stato con il vettore di base: $c_i = \langle e_i|\psi\rangle$. Il motivo è il trucco dell'identità inserita:

Si legge così: la componente di $\psi$ lungo $e_i$ è «quanto $\psi$ assomiglia a $e_i$».

Esempio. Lo stato $|D\rangle$ nella base $\{H,V\}$ ha coefficienti $c_H = \langle H|D\rangle = \tfrac{1}{\sqrt2}$ e $c_V = \langle V|D\rangle = \tfrac{1}{\sqrt2}$, quindi la colonna $\tfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$.

Il prodotto scalare diventa una somma. Con $|\psi\rangle = \sum_i c_i|e_i\rangle$ e $|\chi\rangle = \sum_j d_j|e_j\rangle$, come a p. 45:

È la ricetta del prodotto scalare della pagina sui postulati. La condizione $\langle\psi|\psi\rangle = \sum_i|c_i|^2 \lt \infty$ dice che lo stato ha lunghezza finita: è la definizione di $\ell_2$, le successioni «a quadrato sommabile».

3Dall'operatore alla matrice (p. 45)

La ricetta. Si inserisce l'identità due volte, una a sinistra e una a destra di $A$:

Il numero $A_{ij} = \langle e_i|A|e_j\rangle$ si legge così: applica $A$ al vettore di base $e_j$, e guarda quanto del risultato sta lungo $e_i$. La colonna $j$ della matrice è quindi «che cosa fa $A$ al vettore $e_j$», scritto nella base.

Il prodotto di operatori diventa prodotto di matrici. Si inserisce un'identità in mezzo:

Per questo (p. 47) la commutabilità si può verificare sulle matrici: $[A,B] = 0$ se e solo se le matrici commutano.

Esempio. L'osservabile «$H$ o $V$», con risultati $\pm1$, nella base $\{H,V\}$ è $A = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}$. È diagonale perché $H$ e $V$ sono i suoi autostati: è il risultato di p. 47, dove nella base degli autovettori $A_{kj} = a_j\,\delta_{kj}$.

4Il cambio di base, passo per passo (p. 46)

Questa è la parte che di solito confonde. La domanda è semplice: conosco le coordinate $c_i$ nella vecchia base $\{e_i\}$; quali sono le coordinate $c'_k$ nella nuova base $\{e'_k\}$?

1. Per la ricetta del paragrafo 2, il nuovo coefficiente è un prodotto scalare con il nuovo vettore di base: $$c'_k = \langle e'_k|\psi\rangle.$$
2. Inserisco l'identità scritta nella vecchia base, perché è lì che conosco lo stato: $$c'_k = \langle e'_k|\Big(\sum_i|e_i\rangle\langle e_i|\Big)|\psi\rangle = \sum_i \langle e'_k|e_i\rangle\,\langle e_i|\psi\rangle.$$
3. Riconosco i due pezzi: $\langle e_i|\psi\rangle = c_i$ sono le vecchie coordinate, e chiamo $U_{ki} = \langle e'_k|e_i\rangle$ il resto: $$\boxed{c'_k = \sum_i U_{ki}\,c_i,\qquad U_{ki} = \langle e'_k|e_i\rangle}.$$

Che cos'è $U$. È la tabella delle sovrapposizioni tra i vettori nuovi e quelli vecchi: l'elemento $U_{ki}$ dice quanto del vecchio vettore $e_i$ c'è nel nuovo vettore $e'_k$. Le nuove coordinate si ottengono moltiplicando la vecchia colonna per questa matrice: $c' = U\,c$.

Esempio completo: dalla base $\{H,V\}$ alla base $\{D,\bar D\}$. Gli elementi di $U$ sono i prodotti scalari:

• Il fotone $|D\rangle$ ha vecchie coordinate $\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1)$. Le nuove sono $U c = \tfrac12\,(1+1,\ 1-1) = (1, 0)$: nella base diagonale, $|D\rangle$ è il primo vettore di base. Torna.
• Il fotone $|H\rangle$ ha vecchie coordinate $(1,0)$. Le nuove sono $U c = \tfrac{1}{\sqrt2}(1, 1)$: un fotone orizzontale è metà $+45°$ e metà $-45°$. Infatti $\tfrac{1}{\sqrt2}\big(|D\rangle + |\bar D\rangle\big) = |H\rangle$.

5Perché $U$ è unitaria (p. 46, «lo chiede all'esame»)

Il motivo fisico. Cambiare base vuol dire cambiare lingua, non fisica. Le probabilità, cioè i prodotti scalari, devono restare uguali in qualsiasi lingua. Una matrice che conserva tutti i prodotti scalari si chiama unitaria: $U^\dagger U = U U^\dagger = \mathbb 1$, cioè $U^\dagger = U^{-1}$.

La dimostrazione degli appunti. L'inversa porta indietro dalla base nuova a quella vecchia, $(U^{-1})_{jk} = \langle e_j|e'_k\rangle$. Verifico che sia davvero l'inversa, inserendo l'identità nella base nuova:

Poi confronto con l'aggiunta: $(U^\dagger)_{ij} = U_{ji}^* = \langle e'_j|e_i\rangle^* = \langle e_i|e'_j\rangle = (U^{-1})_{ij}$. Quindi $U^\dagger = U^{-1}$.

Controllo sull'esempio: $U = \tfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$ è reale e simmetrica, quindi $U^\dagger = U$; e $U^2 = \tfrac12\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = \mathbb 1$. Allora $U^\dagger U = \mathbb 1$.

6Come cambia la matrice di un operatore (p. 46)

Stessa strategia: la nuova matrice è $A'_{ij} = \langle e'_i|A|e'_j\rangle$, e inserisco due identità nella vecchia base, una per lato:

Esempio, che mostra la fisica. Riscriviamo la misura «$H$ o $V$» nella base diagonale:

La stessa osservabile, che era diagonale, ora ha zeri sulla diagonale. Fisicamente: un fotone diagonale, misurato con la domanda «$H$ o $V$?», non dà mai un risultato certo, e la media è zero. Una matrice è diagonale solo nella base dei suoi autovettori (p. 47). Gli autovalori invece non cambiano: anche la nuova matrice ha autovalori $\pm1$, perché i risultati possibili di una misura non dipendono dalla lingua (osservazione mia, segue da $A' = UAU^{-1}$).

7Due modi di guardare la stessa operazione (p. 46)

Gli appunti definiscono anche un operatore $U = \sum_k |e_k\rangle\langle e'_k|$, che manda ogni vettore nuovo nel vecchio corrispondente: $U|e'_i\rangle = |e_i\rangle$. Poi calcolano

Questo è il punto che crea più confusione. Ci sono due operazioni diverse che producono gli stessi numeri:

I numeri sono gli stessi, ma il significato no. Nel primo caso descrivo lo stesso fotone in un'altra lingua. Nel secondo ho un fotone diverso, $U|\psi\rangle$, descritto nella lingua di prima. Quando leggi $c' = Uc$, chiediti sempre quale dei due stai facendo.

La nota blu «off topic» di p. 46 dice che $U$ conserva i prodotti scalari: se $|\psi'\rangle = U|\psi\rangle$ e $|\chi'\rangle = U|\chi\rangle$, allora $\langle\chi'|\psi'\rangle = \langle\chi|\psi\rangle$. È un'isometria, ed è lo stesso motivo fisico del paragrafo 5.

Lo schema da tenere davanti

8Il cambio di fase, collegato ai raggi (pp. 46-47)

Il «cambio di base utile» degli appunti moltiplica ogni vettore di base per una fase: $|e'_i\rangle = e^{i\varphi_i}|e_i\rangle$. Ricorda il primo postulato: $|e_i\rangle$ ed $e^{i\varphi_i}|e_i\rangle$ sono lo stesso raggio, quindi lo stesso stato fisico. La griglia nuova ha gli stessi assi della vecchia, solo «girati di fase».

• La matrice è diagonale: $U_{ij} = \langle e'_i|e_j\rangle = e^{-i\varphi_i}\delta_{ij}$. Il segno meno viene dal bra: $\langle e'_i| = e^{-i\varphi_i}\langle e_i|$, perché passando da ket a bra si coniuga (la nota rossa degli appunti).
• Le coordinate cambiano solo di fase: $c'_k = e^{-i\varphi_k}c_k$. Le probabilità $|c'_k|^2 = |c_k|^2$ non cambiano.
• La matrice di un operatore diventa $A'_{ij} = e^{i(\varphi_j - \varphi_i)}A_{ij}$. Gli elementi diagonali ($i = j$) restano identici; quelli fuori diagonale prendono una fase relativa.

9La base continua: nasce la funzione d'onda (p. 47)

L'idea. Per una particella che si muove su una retta, la domanda naturale è «dove sei?». La risposta può essere qualsiasi numero reale $x$, non solo una lista discreta. Gli stati «la particella è esattamente in $x$» si scrivono $|x\rangle$, e formano una base continua: un vettore di base per ogni punto della retta.

La funzione d'onda è solo una lista di coordinate. Con la stessa ricetta del paragrafo 2, la componente dello stato lungo $|x\rangle$ è

Al posto della colonna $c_1, c_2, \dots$ c'è una funzione, perché l'indice $i$ è diventato la variabile continua $x$. La funzione d'onda che conosci dalla doppia fenditura è quindi la rappresentazione dello stato nella base delle posizioni. È la rappresentazione di Schrödinger, e $|\psi(x)|^2$ è la densità di probabilità di trovare la particella in $x$: è Born, con l'indice continuo.

Il dizionario discreto ↔ continuo

Perché $\langle x|y\rangle = \delta(x - y)$

Lo ricavano gli appunti con il solito trucco. Inserisco l'identità continua nella definizione di $\psi(x)$:

Questa uguaglianza deve valere per ogni funzione $\psi$. L'unico «oggetto» che, integrato contro $\psi(y)$, restituisce il valore in $y = x$ è la delta di Dirac. Quindi $\langle x|y\rangle = \delta(x - y)$: è la versione continua di $\delta_{ij}$.

Il prodotto scalare diventa un integrale

Con $|\psi\rangle = \int dy\,\psi(y)|y\rangle$ e $\langle\chi| = \int dx\,\chi^*(x)\langle x|$, come a p. 47:

La delta «mangia» un integrale, esattamente come $\delta_{ij}$ mangiava una somma nel paragrafo 2.

A inizio lezione (p. 45) il professore ha accennato alla teoria dell'onda pilota di Bohm, alle variabili nascoste e alle disuguaglianze di Bell come argomenti da approfondire; qui non li tratto.