Oltre Copenhagen · B · percorso parallelo con Norsen e Bell

L'onda pilota di de Broglie e Bohm

La funzione d'onda non è tutto: c'è anche la posizione della particella, e un'equazione che le dice dove andare.

La mappa di questa parte

Nella parte precedente abbiamo visto che la lettura ortodossa, quella in cui la funzione d'onda $\psi$ è la descrizione completa del sistema, si scontra con tre problemi: il problema della misura (quando e perché la sovrapposizione diventa un esito unico), il problema della località (le correlazioni a distanza) e il problema ontologico (che cosa esiste davvero nello spazio quando nessuno misura). Norsen apre il capitolo sull'onda pilota ricordando proprio questi tre problemi e il giudizio di Einstein: una teoria statistica che non descrive il singolo sistema starebbe alla teoria completa come la meccanica statistica sta alla meccanica classica (Norsen, p. 186).

L'idea dell'onda pilota è semplicissima da dire. Un elettrone è sempre una particella, con una posizione precisa in ogni istante, e in più c'è un'onda, la solita $\psi$, che obbedisce alla solita equazione di Schrödinger e che guida la particella. Pensa a un tappo di sughero in un fiume: la corrente esiste dappertutto, il tappo sta in un solo punto e si muove con la corrente che c'è in quel punto. Nella doppia fenditura l'onda passa da entrambe le fenditure, il tappo da una sola, e va a finire dove l'onda lo porta, cioè non dove le onde si cancellano. Norsen riassume dicendo che un singolo elettrone, in questa teoria, è due cose e non una (Norsen, p. 187).

Ecco la struttura logica della pagina.

Dei tre problemi, l'onda pilota risolve quello della misura in modo netto: non c'è bisogno di dividere il mondo in sistema e apparato, perché l'esito è semplicemente la posizione in cui il puntatore si trova. Al problema ontologico dà una risposta precisa, le posizioni delle particelle nello spazio ordinario, anche se l'onda vive nello spazio delle configurazioni, ed è una delle obiezioni che le fece Heisenberg (Norsen, pp. 215-216). Il problema della località invece non lo risolve affatto: lo rende più evidente, perché la velocità di ogni particella dipende istantaneamente dalla posizione di tutte le altre (Norsen, p. 208). Questo sarà il ponte verso il teorema di Bell.

Il percorso: ripassiamo Schrödinger e la forma polare (§1), costruiamo l'equazione guida (§2) e la corrente di probabilità (§3), dimostriamo l'equivarianza (§4), guardiamo le traiettorie nella buca (§5) e nella doppia fenditura (§6), poi la misura (§7), la contestualità (§8), l'errore di von Neumann (§9), la nonlocalità (§10), il potenziale quantistico (§11) e le reazioni storiche (§12).

1Ripasso lampo: equazione di Schrödinger e forma polare

Il legame con il corso è questo. Nella tappa sulla base $x$ abbiamo scritto $\psi(x) = \langle x|\psi\rangle$, e la formula di Born della Lezione 1, letta nella base continua, dice che la probabilità di trovare la particella tra $a$ e $b$ è $$P(a\le x\le b) = \int_a^b |\psi(x)|^2\,dx .$$ L'equazione di Schrödinger ci dice come cambia $\psi$ nel tempo, e quindi come cambia questa distribuzione.

La forma polare

Ogni numero complesso $z$ si può scrivere come modulo per fase, $z = r\,e^{i\theta}$ con $r\ge 0$ e $\theta$ reale. Facciamo lo stesso, punto per punto e istante per istante, con la funzione d'onda: $$\psi(x,t) = R(x,t)\,e^{iS(x,t)},\qquad R\ge 0,\quad S\ \text{reale}.$$ Qui $R$ è il modulo e $S$ è la fase. Seguiamo la convenzione di Norsen, in cui $S$ è adimensionale (Norsen, p. 188). Bohm nel 1952 scriveva invece $\psi = R\,e^{iS/\hbar}$, con $S$ che ha le dimensioni di un'azione: le formule differiscono per un fattore $\hbar$, e quando leggi altri testi conviene controllare quale convenzione usano.

Tre fatti che useremo di continuo.

1. La densità di probabilità dipende solo dal modulo: $|\psi|^2 = \psi^*\psi = R\,e^{-iS}\,R\,e^{iS} = R^2$.
2. Una fase globale non conta. Se moltiplichi $\psi$ per $e^{i\alpha}$ con $\alpha$ costante, $S$ diventa $S + \alpha$ e nessuna derivata di $S$ cambia. È la stessa ragione per cui, nel primo postulato, lo stato è un raggio e non un vettore.
3. La parte immaginaria di un numero complesso si scrive $\mathrm{Im}\,z = \frac{z - z^*}{2i}$, e per un rapporto vale $\frac{w}{z} = \frac{w\,z^*}{|z|^2}$. Moltiplicare sopra e sotto per il coniugato del denominatore sarà il trucco di tutti i conti di questa pagina.

2L'equazione guida

Ci serve una regola che dica alla particella con che velocità muoversi, data l'onda. Il punto di partenza è la relazione di de Broglie tra impulso e lunghezza d'onda: $$p = \frac{h}{\lambda} = \hbar k,\qquad v = \frac{p}{m} = \frac{\hbar k}{m}$$ (Norsen, p. 188, eq. 7.2-7.3). Questa relazione però parla di un'onda con una sola lunghezza d'onda, l'onda piana $e^{i(kx-\omega t)}$. Per una $\psi$ qualunque non c'è un solo $k$. Serve un modo di leggere un $k$ locale, punto per punto.

Dalla relazione di de Broglie alla forma polare

1. Scriviamo l'onda piana in forma polare: $e^{i(kx-\omega t)}$ ha modulo $R = 1$ e fase $S = kx - \omega t$.
2. Deriviamo la fase rispetto a $x$: $\partial_x S = k$. Dunque per l'onda piana la relazione di de Broglie si può riscrivere come $v = \frac{\hbar}{m}\,\partial_x S$.
3. Questa seconda scrittura ha senso per qualunque $\psi = R\,e^{iS}$: in ogni punto la fase ha una sua pendenza $\partial_x S$, che fa da numero d'onda locale. La generalizzazione più semplice è quindi $$v(x,t) = \frac{\hbar}{m}\,\frac{\partial S(x,t)}{\partial x}\qquad\text{(Norsen, p. 188, eq. 7.4).}$$
4. La particella non sente il campo $v(x,t)$ ovunque: sente il suo valore nel punto in cui si trova. Chiamiamo $X(t)$ la posizione effettiva, lettera maiuscola, per distinguerla dalla variabile $x$ su cui è definita l'onda. La legge del moto è $$\boxed{\ \frac{dX(t)}{dt} = \frac{\hbar}{m}\,\frac{\partial S(x,t)}{\partial x}\bigg|_{x = X(t)}\ }\qquad\text{(Norsen, p. 188, eq. 7.5).}$$

La distinzione tra $x$ e $X$ non è pedanteria. Bell insiste che $X$ e l'argomento $x$ di $\psi$ sono variabili diverse come lo sono, nell'elettromagnetismo, la posizione di una carica e il punto in cui si valuta il campo (Bell, art. 17, pp. 173-174). $\psi(x,t)$ è un campo definito per ogni $x$; $X(t)$ è un numero solo, il posto dove la particella sta.

La forma con la parte immaginaria

Spesso non conviene mettere $\psi$ in forma polare. Norsen dà una forma equivalente che usa direttamente $\psi$; il libro chiede di dimostrare l'equivalenza (Project 7.1, p. 217). Questo passaggio il libro lo lascia come esercizio; eccolo.

1. Deriviamo $\psi = R\,e^{iS}$ con la regola del prodotto e la regola della catena: $\partial_x\psi = (\partial_x R)\,e^{iS} + R\,(i\,\partial_x S)\,e^{iS} = (\partial_x R + iR\,\partial_x S)\,e^{iS}$.
2. Dividiamo per $\psi = R\,e^{iS}$; il fattore $e^{iS}$ si semplifica: $$\frac{\partial_x\psi}{\psi} = \frac{\partial_x R}{R} + i\,\partial_x S .$$
3. Il primo termine è reale, il secondo immaginario puro. Prendendo la parte immaginaria resta $\partial_x S$. Quindi $$\boxed{\ \frac{dX(t)}{dt} = \frac{\hbar}{m}\,\mathrm{Im}\!\left[\frac{\partial_x\psi}{\psi}\right]_{x = X(t)}\ }\qquad\text{(Norsen, p. 188, eq. 7.6).}$$

Bell scrive la stessa equazione come $\dot{\mathbf x} = \frac{1}{m}\,\nabla\,\mathrm{Im}\log\psi$, con $\hbar = 1$ (Bell, art. 14, p. 123). Non è un'altra legge: $\log\psi = \log R + iS$, quindi $\mathrm{Im}\log\psi = S$ e si torna alla (7.5). In tre dimensioni basta sostituire $\partial_x$ con il gradiente: $\dot{\vec X} = \frac{\hbar}{m}\,\mathrm{Im}\,\frac{\nabla\psi}{\psi}$.

Due controlli immediati. Per l'onda piana $\psi = e^{i(kx-\omega t)}$ si ha $\partial_x\psi/\psi = ik$, dunque $\dot X = \hbar k/m$: si ritrova de Broglie. Per una $\psi$ reale, a meno di una fase costante, $\partial_x\psi/\psi$ è reale e $\dot X = 0$: la particella sta ferma. Questo secondo fatto sembra strano, e nel §5 vedremo che è proprio ciò che succede negli stati stazionari.

3Corrente di probabilità e velocità uguale a corrente su densità

C'è una seconda strada verso la stessa equazione, e conviene percorrerla perché ci darà gratis il risultato più importante della pagina. L'immagine è quella di un fluido. Se in un tubo scorre acqua con densità $\rho$ e velocità $v$, la corrente, cioè la quantità che attraversa una sezione per unità di tempo, è $j = \rho v$. Se sappiamo $\rho$ e $j$, la velocità è $v = j/\rho$. Mostriamo che per $\rho = |\psi|^2$ esiste una corrente $j$ di questo tipo.

L'equazione di continuità, passo per passo

Scriviamo per brevità $\psi' = \partial_x\psi$ e $\psi'' = \partial_x^2\psi$.

1. Scriviamo Schrödinger e la sua complessa coniugata. Poiché $V$ è reale, coniugare cambia solo il segno di $i$: $$i\hbar\,\partial_t\psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V\psi,\qquad -i\hbar\,\partial_t\psi^* = -\frac{\hbar^2}{2m}\psi^{*\prime\prime} + V\psi^*\qquad\text{(Norsen, p. 189, eq. 7.7-7.8).}$$
2. Moltiplichiamo la prima per $\psi^*$ e la seconda per $\psi$, poi sottraiamo la seconda dalla prima. I termini con il potenziale danno $V\psi^*\psi - V\psi\psi^* = 0$ e spariscono: qui serve che $V$ sia reale.
3. A sinistra resta $i\hbar\,\psi^*\partial_t\psi - (-i\hbar\,\psi\,\partial_t\psi^*) = i\hbar\,(\psi^*\partial_t\psi + \psi\,\partial_t\psi^*)$. Per la regola del prodotto, la parentesi è $\partial_t(\psi^*\psi) = \partial_t|\psi|^2$.
4. A destra resta $-\frac{\hbar^2}{2m}\,(\psi^*\psi'' - \psi\,\psi^{*\prime\prime})$ (Norsen, p. 189, eq. 7.9).
5. Il libro dice che questa espressione «si semplifica»; ecco come. Calcoliamo la derivata di $\psi^*\psi' - \psi\,\psi^{*\prime}$ con la regola del prodotto: $$\partial_x(\psi^*\psi' - \psi\,\psi^{*\prime}) = \psi^{*\prime}\psi' + \psi^*\psi'' - \psi'\psi^{*\prime} - \psi\,\psi^{*\prime\prime} = \psi^*\psi'' - \psi\,\psi^{*\prime\prime},$$ perché i due prodotti misti $\psi^{*\prime}\psi'$ si cancellano. Dunque la destra è una derivata totale in $x$.
6. Dividiamo per $i\hbar$, ricordando che $1/i = -i$: $$\partial_t|\psi|^2 = \frac{i\hbar}{2m}\,\partial_x(\psi^*\psi' - \psi\,\psi^{*\prime}) = -\partial_x\!\left[\frac{i\hbar}{2m}\,(\psi\,\psi^{*\prime} - \psi^*\psi')\right].$$
7. Chiamando $\rho = |\psi|^2$ e $$j = \frac{i\hbar}{2m}\left(\psi\,\frac{\partial\psi^*}{\partial x} - \psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)\qquad\text{(Norsen, p. 189, eq. 7.13)}$$ si ottiene l'equazione di continuità $$\frac{\partial\rho}{\partial t} = -\frac{\partial j}{\partial x}\qquad\text{(Norsen, p. 189, eq. 7.11).}$$

Il significato si vede integrando tra due punti $a$ e $b$: $\frac{d}{dt}\int_a^b\rho\,dx = -\int_a^b\partial_x j\,dx = j(a) - j(b)$. La probabilità contenuta nell'intervallo cambia solo perché ne entra da $a$ e ne esce da $b$. Non si crea e non si distrugge: si sposta. In tre dimensioni la stessa derivazione dà $\partial_t\rho = -\nabla\cdot\vec j$ con $\vec j = \frac{i\hbar}{2m}(\psi\nabla\psi^* - \psi^*\nabla\psi)$ (Norsen, pp. 189-190, eq. 7.12 e 7.14).

La corrente è reale, e la velocità è quella del §2

1. Il termine $\psi\,\psi^{*\prime}$ è il complesso coniugato di $\psi^*\psi'$. Per un numero $z$ vale $z^* - z = -2i\,\mathrm{Im}\,z$, quindi $$\psi\,\psi^{*\prime} - \psi^*\psi' = -2i\,\mathrm{Im}(\psi^*\psi')\qquad\text{(Norsen, p. 190, eq. 7.18).}$$
2. Sostituendo nella $j$: $j = \frac{i\hbar}{2m}\,(-2i)\,\mathrm{Im}(\psi^*\psi') = \frac{\hbar}{m}\,\mathrm{Im}(\psi^*\psi')$, perché $i\cdot(-2i) = 2$. La corrente è un numero reale, come deve.
3. Per analogia con il fluido poniamo $v = j/\rho$ (Norsen, p. 190, eq. 7.15): $$v = \frac{j}{\rho} = \frac{\hbar}{m}\,\frac{\mathrm{Im}(\psi^*\psi')}{\psi^*\psi} = \frac{\hbar}{m}\,\mathrm{Im}\,\frac{\psi'}{\psi},$$ dove nell'ultimo passaggio abbiamo semplificato $\psi^*$ sopra e sotto (il denominatore $\psi^*\psi$ è reale, quindi può entrare nella parte immaginaria). È esattamente la (7.6) (Norsen, p. 190, eq. 7.19).

Lo stesso risultato in forma polare, un conto che il libro non fa ma che chiarisce tutto: $\psi^*\psi' = R\,e^{-iS}(R' + iRS')\,e^{iS} = RR' + iR^2S'$, quindi $j = \frac{\hbar}{m}R^2\,\partial_x S = \rho\cdot\frac{\hbar}{m}\partial_x S$. La corrente è la densità per la velocità della (7.4). Le due motivazioni, quella di de Broglie e quella del fluido, portano alla stessa legge.

4Equivarianza: perché |ψ|² resta la distribuzione delle posizioni

La teoria è deterministica: dati $\psi(x,0)$ e $X(0)$, la traiettoria è fissata. Allora da dove viene la probabilità? Dalla nostra ignoranza della posizione iniziale. Chi prepara un elettrone in uno stato $\psi$ non controlla dove sia esattamente la particella dentro il pacchetto. Ripetendo l'esperimento molte volte con la stessa $\psi$ si ottiene un insieme di copie (un ensemble) con posizioni iniziali sparse secondo una distribuzione $P(x,0)$. Ci chiediamo come evolve questa distribuzione, e se resta uguale a $|\psi|^2$.

Come evolve la distribuzione di un ensemble

Il libro dà l'idea e lascia il lavoro come esercizio (Project 7.2, p. 217); qui lo completiamo.

1. $P(x,t)\,dx$ è la frazione delle copie che all'istante $t$ hanno la particella nell'intervallo $[x, x+dx]$.
2. In un tempo $dt$ la particella che sta in $x$ si sposta in $x + v(x,t)\,dt$, quella che sta in $x + dx$ si sposta in $x + dx + v(x+dx,t)\,dt$. L'intervallo diventa lungo $$dx' = dx + [v(x+dx,t) - v(x,t)]\,dt = dx\,(1 + \partial_x v\,dt),$$ dove abbiamo usato $v(x+dx) - v(x) = \partial_x v\,dx$ al primo ordine.
3. Le particelle che stavano nel vecchio intervallo stanno tutte nel nuovo, e nessun'altra vi entra, perché le traiettorie di un'equazione del primo ordine non si incrociano. La frazione è la stessa: $$P(x + v\,dt,\ t + dt)\,dx' = P(x,t)\,dx .$$
4. Sviluppiamo $P$ al primo ordine (sviluppo di Taylor in due variabili): $P(x + v\,dt,\,t + dt) = P + (\partial_t P + v\,\partial_x P)\,dt$.
5. Sostituiamo, dividiamo per $dx$ e teniamo solo il primo ordine in $dt$: $P + (\partial_t P + v\,\partial_x P + P\,\partial_x v)\,dt = P$.
6. Il termine $P$ si cancella e resta $\partial_t P + v\,\partial_x P + P\,\partial_x v = 0$. Gli ultimi due termini sono la derivata di un prodotto: $$\frac{\partial P}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial x}\big[v(x,t)\,P(x,t)\big]\qquad\text{(Norsen, p. 191, eq. 7.20).}$$

È ancora un'equazione di continuità: la corrente dell'ensemble è $vP$. Vale per qualunque distribuzione iniziale.

La dimostrazione dell'equivarianza

1. Supponiamo che all'istante iniziale $P(x,0) = |\psi(x,0)|^2$.
2. Proviamo a vedere se $P(x,t) = |\psi(x,t)|^2$ risolve la (7.20). Con questa scelta, per la definizione $v = j/|\psi|^2$ del §3, il prodotto vale $vP = \frac{j}{|\psi|^2}\,|\psi|^2 = j$.
3. La (7.20) diventa $\partial_t|\psi|^2 = -\partial_x j$. Ma questa è l'equazione di continuità del §3, che vale a ogni istante come conseguenza di Schrödinger. Quindi $|\psi(x,t)|^2$ è davvero una soluzione.
4. La (7.20) è un'equazione del primo ordine in $t$ e lineare in $P$: assegnata la $P$ iniziale, la soluzione è una sola. Poiché $|\psi(x,t)|^2$ è una soluzione con il dato iniziale giusto, è la soluzione. Norsen si ferma al punto 3; l'unicità i libri la danno per scontata e qui la esplicitiamo.

Conclusione: se all'inizio le posizioni sono distribuite come $|\psi|^2$, lo sono per sempre. Norsen chiama questa proprietà equivarianza: la distribuzione segue $|\psi|^2$ al variare del tempo (Norsen, p. 191). Bell enuncia la stessa cosa per $N$ particelle nello spazio a $3N$ dimensioni, dove l'argomento è identico con il gradiente rispetto a tutte le coordinate (Bell, art. 15, p. 140).

Il collegamento con la formula di Born

Nella Lezione 1 la formula di Born è un postulato sulla misura: $|\psi(x)|^2\,dx$ è la probabilità di trovare la particella in $[x, x+dx]$ se la si cerca. Nell'onda pilota lo stesso numero ha un altro significato: è la frazione di copie in cui la particella sta davvero in $[x, x+dx]$, che qualcuno guardi o no. Il quadro di Norsen è cosmologico. All'inizio dell'universo le posizioni sono state distribuite secondo $|\psi|^2$ e l'equivarianza garantisce che questa distribuzione si conservi fino a oggi. Norsen avverte che questa è solo una parte della derivazione della regola di Born (Norsen, p. 191). Bell chiama questa condizione ipotesi di equilibrio, e osserva che l'ensemble serve a dare senso alla parola «tipico»: l'universo ci è dato una volta sola, e chiediamo che sia un membro tipico dell'ensemble (Bell, art. 15, p. 140).

E le altre osservabili, come energia e impulso? Nell'onda pilota ogni esperimento finisce con la posizione di qualcosa: un puntatore, un annerimento su una lastra. Se le posizioni seguono $|\psi|^2$, le statistiche di tutti gli esperimenti seguono la meccanica quantistica. Lo vedremo nel §7.

5La particella nella buca: ferma o in moto

Lo stato stazionario: la particella sta ferma

1. Lo stato è $\psi(x,t) = \psi_n(x)\,e^{-iE_nt/\hbar}$, con $\psi_n$ reale.
2. La forma polare è $R = |\psi_n(x)|$ e $S = -E_nt/\hbar$ (più $\pi$ nei tratti dove $\psi_n<0$, una costante a tratti che non contribuisce alla derivata).
3. $S$ non dipende da $x$, quindi $\partial_x S = 0$ e per la (7.5) $\dot X = 0$.
4. Controllo con la (7.6): $\partial_x\psi/\psi = \psi_n'(x)/\psi_n(x)$, il fattore temporale si semplifica e il rapporto è reale. La parte immaginaria è zero.

La particella è ferma, dovunque si trovi. Norsen commenta che gli stati stazionari, in questa teoria, meritano davvero il loro nome, e che lo stesso vale per l'elettrone nello stato fondamentale dell'idrogeno, fermo vicino al protone (Norsen, p. 192). Se sembra assurdo è perché ci aspettiamo Newton; qui il moto è dettato dalla struttura di $\psi$, non da forze.

La sovrapposizione di due stati: la particella si muove

Prendiamo $\psi(x,0) = c_1\psi_1 + c_2\psi_2$ con $c_1, c_2$ reali e $c_1^2 + c_2^2 = 1$. Norsen tratta il caso $c_1 = c_2 = 1/\sqrt2$ (Norsen, p. 192, eq. 7.23) e scrive la velocità come parte immaginaria di un rapporto, eq. (7.24), che poi integra al computer. Si può fare meglio: la velocità ha una forma chiusa molto semplice. Questo conto non è nel libro.

1. Raccogliamo la fase del primo termine: $\psi(x,t) = e^{-i\omega_1t}\,\big[c_1\psi_1(x) + c_2\psi_2(x)\,e^{-i\varphi}\big]$, con $\varphi = (\omega_2 - \omega_1)\,t = \Delta\omega\,t$. La fase globale $e^{-i\omega_1t}$ non conta (§1).
2. Chiamiamo $a = c_1\psi_1$ e $b = c_2\psi_2$, funzioni reali di $x$. Allora $\frac{\partial_x\psi}{\psi} = \frac{a' + b'e^{-i\varphi}}{a + b\,e^{-i\varphi}}$.
3. Moltiplichiamo sopra e sotto per il coniugato del denominatore, $a + b\,e^{i\varphi}$. Il denominatore diventa $|a + b\,e^{-i\varphi}|^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\varphi$. Il numeratore diventa $a'a + b'b + a'b\,e^{i\varphi} + b'a\,e^{-i\varphi}$, e la sua parte immaginaria è $(a'b - ab')\sin\varphi$.
4. Quindi $$v(x,t) = \frac{\hbar}{m}\,\frac{c_1c_2\,(\psi_1'\psi_2 - \psi_1\psi_2')\,\sin(\Delta\omega\,t)}{c_1^2\psi_1^2 + c_2^2\psi_2^2 + 2c_1c_2\,\psi_1\psi_2\cos(\Delta\omega\,t)} .$$
5. Calcoliamo la combinazione a numeratore con $u = \pi x/L$. Da $\psi_n = \sqrt{2/L}\,\sin nu$ segue $\psi_1'\psi_2 - \psi_1\psi_2' = \frac{2}{L}\frac{\pi}{L}\,[\cos u\,\sin 2u - 2\sin u\cos 2u]$. Con $\sin 2u = 2\sin u\cos u$ e $\cos 2u = 2\cos^2u - 1$ la parentesi vale $2\sin u\cos^2 u - 4\sin u\cos^2 u + 2\sin u = 2\sin u\,(1 - \cos^2 u) = 2\sin^3 u$. Dunque $\psi_1'\psi_2 - \psi_1\psi_2' = \frac{4\pi}{L^2}\sin^3 u$.
6. Nel denominatore usiamo le stesse identità: $\psi_1^2 = \frac2L\sin^2u$, $\psi_2^2 = \frac2L\,4\sin^2u\cos^2u$, $\psi_1\psi_2 = \frac2L\,2\sin^2u\cos u$. Tutto contiene $\frac2L\sin^2u$, che semplifichiamo con il numeratore: $$\boxed{\ v(x,t) = \frac{\hbar}{m}\,\frac{2\pi}{L}\;\frac{c_1c_2\,\sin(\pi x/L)\,\sin(\Delta\omega\,t)}{c_1^2 + 4c_2^2\cos^2(\pi x/L) + 4c_1c_2\cos(\pi x/L)\cos(\Delta\omega\,t)}\ },\qquad \Delta\omega = \frac{3\hbar\pi^2}{2mL^2}.$$

Abbiamo controllato numericamente che questa formula coincide con la (7.24) di Norsen. Si leggono subito alcune proprietà.

• Se $c_1c_2 = 0$ (un solo stato) la velocità è zero ovunque: torniamo al caso stazionario.
• A $t = 0$ si ha $\sin\varphi = 0$ e $v = 0$, perché $\psi$ è reale.
• Il fattore $\sin(\pi x/L)$ è positivo dentro la buca, e il denominatore è positivo (si può scrivere come $(c_1 + 2c_2\cos u\cos\varphi)^2 + 4c_2^2\cos^2u\,\sin^2\varphi$). Quindi, a ogni istante, tutte le particelle si muovono nello stesso verso, quello di $\sin(\Delta\omega\,t)$: verso destra nel primo mezzo periodo, verso sinistra nel secondo. È lo «sciabordio» che Norsen descrive (Norsen, pp. 51-52 e 193): a $t = 0$ la densità è grande a sinistra, mezzo periodo dopo è grande a destra, e le particelle la seguono.
• Il moto è periodico con periodo $T = 2\pi/\Delta\omega = \frac{4mL^2}{3\pi\hbar}$, circa $0{,}424$ con $\hbar = m = L = 1$.
• Il denominatore si annulla solo dove $|\psi|^2 = 0$: per $c_1 = c_2$, in $x = 2L/3$ quando $\cos\varphi = 1$ e in $x = L/3$ quando $\cos\varphi = -1$. Sono nodi istantanei; una traiettoria con posizione iniziale estratta da $|\psi|^2$ li evita con probabilità 1.

6Pacchetto gaussiano libero e doppia fenditura

Le traiettorie sono iperboli

Il libro dà i risultati; i passaggi intermedi li scriviamo noi. Poniamo $\tau = \hbar t/2m$, così che l'esponente sia $-x^2/4(\sigma^2 + i\tau)$.

1. Togliamo l'unità immaginaria dal denominatore moltiplicando per il coniugato: $\frac{1}{\sigma^2 + i\tau} = \frac{\sigma^2 - i\tau}{\sigma^4 + \tau^2}$.
2. L'esponente si spezza in parte reale e parte immaginaria: $$-\frac{x^2}{4(\sigma^2 + i\tau)} = -\frac{x^2\sigma^2}{4(\sigma^4 + \tau^2)} + i\,\frac{x^2\tau}{4(\sigma^4 + \tau^2)} .$$ La parte reale va nel modulo $R$, la parte immaginaria nella fase $S$. Il prefattore complesso $N\sigma/\sqrt{\sigma^2 + i\tau}$ contribuisce alla fase solo con una funzione di $t$, che non conta per $\partial_x S$ (Norsen, nota 1 a p. 195).
3. Con $\tau/4 = \hbar t/8m$ e $\tau^2 = \hbar^2t^2/4m^2$ la fase è $$S(x,t) = \frac{x^2\,\hbar t}{8m\,(\sigma^4 + \hbar^2t^2/4m^2)}\qquad\text{(Norsen, p. 195, eq. 7.28).}$$
4. Deriviamo: $\partial_x S = \frac{x\,\hbar t}{4m(\sigma^4 + \hbar^2t^2/4m^2)}$. Moltiplicando per $\hbar/m$ e raccogliendo: $$\frac{dX}{dt} = \frac{\hbar}{m}\,\partial_x S\Big|_{X} = \frac{X\,\hbar^2 t}{4m^2\sigma^4 + \hbar^2t^2} = X\,\frac{t}{t^2 + T^2}\qquad\text{(Norsen, p. 195, eq. 7.29).}$$
5. Separiamo le variabili: $\frac{dX}{X} = \frac{t\,dt}{t^2 + T^2}$. Integrando, $\ln X = \frac12\ln(t^2 + T^2) + \text{cost}$.
6. Imponiamo $X(0) = X_0$: la costante vale $\ln X_0 - \ln T$, e si ottiene $$\boxed{\ X(t) = X_0\,\sqrt{1 + \frac{\hbar^2t^2}{4m^2\sigma^4}}\ }\qquad\text{(Norsen, p. 195, eq. 7.30).}$$
7. Elevando al quadrato: $(X/X_0)^2 - (t/T)^2 = 1$, l'equazione di un'iperbole nel piano $(t, X)$ (Norsen, p. 195, eq. 7.31).

Confronta la (7.30) con la larghezza $\Delta x(t)$: è la stessa radice. Dunque $X(t) = X_0\,\Delta x(t)/\sigma$: ogni particella si allontana dal centro nella stessa proporzione in cui si allarga il pacchetto. Se le $X_0$ sono gaussiane di larghezza $\sigma$, le $X(t)$ sono gaussiane di larghezza $\Delta x(t)$: è l'equivarianza vista in un caso esplicito. Per tempi lunghi, $t\gg T$, la traiettoria diventa una retta, $X(t)\approx X_0\,\hbar t/(2m\sigma^2)$ (Norsen, p. 205, eq. 7.51); ci servirà nel §8.

Doppia fenditura: due pacchetti che si sovrappongono

Dietro una fenditura il profilo trasversale dell'onda è un pacchetto, e la sua evoluzione con la distanza a valle è circa quella del pacchetto nel tempo, con $y = v_y t$ (Norsen, pp. 57-59). Con due fenditure gaussiane centrate in $x = \pm a$, per linearità $$\psi(x,t) = N(t)\left[e^{-(x-a)^2/4\beta} + e^{-(x+a)^2/4\beta}\right],\qquad \beta = \sigma^2 + \frac{i\hbar t}{2m}$$ (Norsen, p. 196, eq. 7.32). Norsen dice che la forma polare è laboriosa e risolve le traiettorie numericamente (Fig. 7.4, p. 197). La velocità ha però una forma chiusa compatta. Questo conto non è nel libro.

1. Poniamo $\alpha = 1/4\beta$ e $G_\pm = e^{-\alpha(x\pm a)^2}$, così che $\psi \propto G_+ + G_-$. Il fattore $N(t)$ si semplifica nel rapporto $\partial_x\psi/\psi$.
2. Derivando, $\partial_x G_\pm = -2\alpha(x\pm a)\,G_\pm$. Quindi $$\frac{\partial_x\psi}{\psi} = -2\alpha\left[x + a\,\frac{G_+ - G_-}{G_+ + G_-}\right].$$
3. Sviluppando i quadrati, $G_\pm = e^{-\alpha(x^2 + a^2)}\,e^{\mp 2\alpha a x}$. Il fattore comune si semplifica e resta $\frac{G_+ - G_-}{G_+ + G_-} = \frac{e^{-2\alpha ax} - e^{2\alpha ax}}{e^{-2\alpha ax} + e^{2\alpha ax}} = -\tanh(2\alpha a x)$.
4. Dunque $$v(x,t) = \frac{\hbar}{m}\,\mathrm{Im}\Big\{-2\alpha\,\big[x - a\tanh(2\alpha a x)\big]\Big\},\qquad \alpha = \frac{\sigma^2 - i\hbar t/2m}{4\,(\sigma^4 + \hbar^2t^2/4m^2)} .$$ Con $a = 0$ resta $\frac{\hbar}{m}\mathrm{Im}(-2\alpha x)$, che è esattamente la (7.29): il primo pezzo è l'allargamento del singolo pacchetto, il secondo è l'interferenza.

Le frange. La fase relativa dei due termini vale $\mathrm{Im}(4\alpha a x)$, quindi cresce linearmente con $x$; per tempi lunghi la distanza tra due frange chiare è circa $\Delta x\approx \pi\hbar t/(ma)$. Anche questo è un nostro conto. Le frange scure non sono zeri esatti di $\psi$ a tempo finito, ma quasi-nodi, come dice il libro (Norsen, p. 60): lì $|\psi|$ è piccolo e la velocità è grande.

Le traiettorie non si incrociano

Il libro mostra la Fig. 7.4 senza commentare questo punto; l'argomento che segue lo aggiungiamo noi.

1. L'equazione guida $\dot X = v(X,t)$ è un'equazione differenziale del primo ordine, con $v$ liscia dove $\psi\neq 0$.
2. Per il teorema di unicità delle soluzioni, da ogni punto $(x,t)$ passa una sola traiettoria. Se due traiettorie si toccassero in un punto, coinciderebbero da lì in poi e anche prima. Quindi nel piano $(t, x)$ due traiettorie distinte non si incrociano mai.
3. La $\psi$ della doppia fenditura è pari: $\psi(-x,t) = \psi(x,t)$. Allora $\partial_x\psi$ è dispari e $v(-x,t) = -v(x,t)$; in particolare $v(0,t) = 0$, e la retta $x = 0$ è essa stessa una traiettoria.
4. Per il punto 2 nessuna traiettoria può attraversare la retta $x = 0$. Chi arriva nella metà superiore dello schermo è passato dalla fenditura superiore.

L'osservazione sul piano di simmetria è invece nei libri: Bell la usa per l'esperimento a scelta ritardata (Bell, art. 14, p. 124). Le traiettorie si ammassano sulle frange chiare e attraversano in fretta le zone scure: sono i gradini visibili nella figura di Norsen, l'immagine resa celebre da Philippidis, Dewdney e Hiley nel 1979 (Norsen, p. 197).

L'esperimento a scelta ritardata secondo Bell

Wheeler immagina di poter decidere, dopo che la particella ha passato le fenditure, se mettere una lastra nella zona in cui i due fasci si sovrappongono (e vedere le frange, cioè «due fenditure») oppure lasciare che i due fasci proseguano fino a due contatori $C_1$ e $C_2$ (e sapere «da quale fenditura» è passata). Nella lettura usuale sembra che una scelta presente decida che cosa la particella ha fatto prima (Bell, art. 14, pp. 122-123). Nell'onda pilota non c'è nessun mistero: l'onda passa sempre da entrambe le fenditure, la particella da una sola, e la scelta tardiva non cambia né il moto precedente della particella né quello dell'onda (Bell, art. 14, pp. 123-124). C'è anzi una sorpresa. Poiché la particella non attraversa il piano di simmetria, quella passata dalla fenditura 1 finisce sul contatore $C_2$ e viceversa: l'immagine ingenua, che fa proseguire la particella in linea retta, le attribuisce la fenditura sbagliata (Bell, art. 14, p. 124).

7La misura nell'onda pilota

Una misura di posizione è facile: la particella lascia un segno dove si trova (Norsen, p. 197). La questione interessante è la misura di altre grandezze, per esempio l'energia. L'idea dell'onda pilota è di non trattare l'apparato come un oggetto classico esterno: lo si mette dentro il sistema, con la sua posizione, e si lascia lavorare Schrödinger. Così sparisce quella che Bell chiamava la divisione ambigua tra sistema quantistico e mondo classico (Norsen, pp. 197-198).

Il modello giocattolo

Misuriamo l'energia di una particella nella buca (coordinata $x$) con un puntatore (coordinata $y$), accoppiandoli con l'hamiltoniana $$\hat H_{int} = \lambda\,\hat H_x\,\hat p_y,\qquad \hat p_y = -i\hbar\,\partial_y\qquad\text{(Norsen, p. 198, eq. 7.33),}$$ dove $\hat H_x$ è l'hamiltoniana della particella e $\lambda$ misura l'intensità dell'accoppiamento. Il puntatore parte da un pacchetto stretto $\varphi(y)$ centrato in $y = 0$. Che il puntatore si sposti di $\lambda E_n t$ il libro lo afferma; i passaggi li scriviamo noi.

1. Partiamo da un autostato: $\Psi(x,y,0) = \psi_n(x)\varphi(y)$ (Norsen, p. 198, eq. 7.34). Cerchiamo una soluzione della forma $\psi_n(x)f(y,t)$.
2. Schrödinger con la sola $\hat H_{int}$ dà $i\hbar\,\psi_n\,\partial_t f = \lambda\,(\hat H_x\psi_n)\,(-i\hbar\,\partial_y f) = -i\hbar\,\lambda E_n\,\psi_n\,\partial_y f$, perché $\hat H_x\psi_n = E_n\psi_n$.
3. Semplificando $i\hbar\,\psi_n$ resta $\partial_t f = -\lambda E_n\,\partial_y f$, un'equazione di trasporto.
4. La soluzione con $f(y,0) = \varphi(y)$ è $f = \varphi(y - \lambda E_n t)$: infatti $\partial_t f = -\lambda E_n\varphi'$ e $\partial_y f = \varphi'$. Il pacchetto del puntatore trasla rigidamente con velocità $\lambda E_n$, e $\hbar$ è scomparso (Norsen, p. 198, eq. 7.35).
5. Se la particella parte in una sovrapposizione $\sum_i c_i\psi_i(x)$, per linearità $$\Psi(x,y,t) = \sum_i c_i\,\psi_i(x)\,\varphi(y - \lambda E_i t)\qquad\text{(Norsen, p. 198, eq. 7.37).}$$

Fin qui siamo nella meccanica quantistica ordinaria, e l'equazione (7.37) è proprio il problema della misura: il puntatore non indica un valore, è «infettato» dalla sovrapposizione (Norsen, p. 198).

Le isole e la regola di Born

Nell'onda pilota $\Psi$ non è tutto: ci sono anche la posizione $X(t)$ della particella e quella $Y(t)$ del puntatore, che si muovono con $\dot X = j_x/|\Psi|^2$ e $\dot Y = j_y/|\Psi|^2$ (Norsen, p. 199, eq. 7.38-7.39). Ecco che cosa succede.

1. Ogni termine della (7.37) è non nullo solo vicino a $y = \lambda E_i t$. Quando le distanze $\lambda(E_{i+1} - E_i)\,t$ superano la larghezza del pacchetto $\varphi$, i termini occupano regioni disgiunte del piano $(x,y)$: Norsen le chiama isole (Norsen, p. 200, Fig. 7.5).
2. Per l'equivarianza il punto $(X,Y)$ sta dove $|\Psi|^2$ è non nullo. Dopo un tratto tortuoso, mentre le isole si separano, si trova in una sola isola, diciamo la $n$-esima. Il puntatore ha una posizione definita, $Y\approx\lambda E_n t$, e leggiamo «energia $E_n$».
3. Calcoliamo la probabilità di finire nell'isola $n$. Lì gli altri termini sono nulli, quindi $|\Psi|^2 = |c_n|^2\,|\psi_n(x)|^2\,|\varphi(y - \lambda E_n t)|^2$. Integrando sull'isola e usando la normalizzazione di $\psi_n$ e di $\varphi$: $$P(n) = \int_{\text{isola }n}|\Psi|^2\,dx\,dy = |c_n|^2\int|\psi_n|^2dx\int|\varphi|^2dy = |c_n|^2 .$$

È la formula di Born della Lezione 1, $P(E_n) = |\langle\psi_n|\psi\rangle|^2 = |c_n|^2$, ottenuta però senza postularla: segue dall'equivarianza applicata alla posizione del puntatore. La teoria è deterministica e la casualità entra solo attraverso le condizioni iniziali, come nella meccanica statistica classica (Norsen, p. 201). Anche l'indeterminazione cambia significato: chi prepara $\psi$ può al massimo conoscere $P(x) = |\psi|^2$, e questo è un limite di principio alla conoscenza di fatti che esistono, non un'indefinitezza della natura (Norsen, pp. 200-201).

La funzione d'onda condizionale: il collasso effettivo

Se l'universo ha una sola funzione d'onda che non collassa mai, come si giustifica l'uso pratico del collasso? Norsen definisce la funzione d'onda di un sottosistema valutando la $\Psi$ totale nella posizione effettiva di tutto il resto (Norsen, p. 202): $$\chi(x,t)\sim\Psi\big(x, Y(t), t\big) = \sum_i c_i\,\psi_i(x)\,\varphi\big(Y(t) - \lambda E_i t\big)\qquad\text{(eq. 7.41),}$$ dove il segno $\sim$ ricorda che trascuriamo la normalizzazione.

1. All'inizio $Y(0)\approx 0$ e tutti i fattori $\varphi(Y(0))$ sono uguali: $\chi(x,0)\sim\sum_i c_i\psi_i(x)$, la sovrapposizione di partenza (eq. 7.42).
2. Dopo la separazione $Y(t)\approx\lambda E_n t$, quindi $\varphi(Y(t) - \lambda E_i t)\approx 0$ per $i\neq n$, perché $Y$ è fuori dal pacchetto $i$-esimo.
3. Resta un solo termine: $\chi(x,t)\approx c_n\psi_n(x)\,\varphi(Y(t) - \lambda E_n t)$, un numero per $\psi_n(x)$. Normalizzando, $\chi = \psi_n$ (eq. 7.43-7.44).

Confronta con il postulato di proiezione della Lezione 1: dopo l'esito $E_n$ lo stato è $P_n|\psi\rangle$ normalizzato, con $P_n = |\psi_n\rangle\langle\psi_n|$, cioè $c_n|\psi_n\rangle/|c_n|$. La funzione d'onda condizionale fa la stessa cosa, ma non per decreto: è un'evoluzione continua, rapida se l'accoppiamento è forte, che segue dalle leggi ordinarie (Norsen, pp. 202-203). Gli altri termini della $\Psi$ totale non spariscono mai; semplicemente non toccano più il punto di configurazione effettivo e non influiscono sul suo moto. Bell fa lo stesso discorso per i rivelatori dietro le fenditure: quando si specifica che è scattato il rivelatore 1, nella guida a molti corpi conta solo il ramo corrispondente, e la legge si riduce a quella con la sola $\psi_1$ (Bell, art. 14, pp. 124-125).

8Contestualità: che cosa rivela una misura

Nel §7 il puntatore ha mostrato «energia $E_n$». Era l'energia che la particella aveva prima? No, e la ragione è semplice. Prima della misura la particella nella buca ha una sovrapposizione e una posizione $X$, e nessuna delle due contiene un numero che si possa chiamare «la sua energia». Dopo la misura un'energia c'è. Le misure di posizione rivelano posizioni preesistenti; le misure di energia no (Norsen, p. 203).

L'impulso nell'oscillatore armonico: il tempo di volo

Lo stato fondamentale dell'oscillatore, $V = \frac12 m\omega^2x^2$, è la gaussiana $\psi(x,t) = N\,e^{-x^2/4\sigma^2}e^{-iEt/\hbar}$ con $\sigma^2 = \hbar/2m\omega$ e $E = \frac12\hbar\omega$ (Norsen, p. 204, eq. 7.46-7.48). La fase non dipende da $x$, quindi la particella è ferma e il suo impulso $m\dot X$ è zero. La regola di Born per l'impulso dice invece che gli esiti sono distribuiti come una gaussiana: $$P(p)\,dp = |\phi(k)|^2\,dk = 2N^2\sigma^2 e^{-2k^2\sigma^2}dk = \frac{2N^2\sigma^2}{\hbar}\,e^{-2p^2\sigma^2/\hbar^2}\,dp\qquad\text{(Norsen, p. 204, eq. 7.50),}$$ dove si è usato $p = \hbar k$, cioè $dk = dp/\hbar$. Il valore $p = 0$ è uno tra infiniti; la probabilità di ottenerlo esattamente è nulla. Quindi la misura d'impulso non può rivelare l'impulso che la particella aveva.

Come si misura l'impulso in pratica? Con il tempo di volo: si spegne il potenziale, si lascia volare la particella e dopo un tempo lungo si misura la sua posizione, deducendo $p = mX/t$ (Norsen, p. 205).

1. Spento il potenziale, la gaussiana evolve come un pacchetto libero e le traiettorie sono le iperboli del §6. Per $t$ grande, $X(t)\approx X_0\,\hbar t/(2m\sigma^2)$ (eq. 7.51).
2. L'impulso dedotto è $p = mX/t = X_0\,\hbar/(2\sigma^2)$ (eq. 7.52). Dipende dalla posizione iniziale: la particella acquista impulso perché, spegnendo il potenziale, cambia l'evoluzione di $\psi$.
3. La distribuzione di $X_0$ è $|\psi(X_0)|^2 = N^2 e^{-X_0^2/2\sigma^2}$. Cambiamo variabile con $X_0 = 2\sigma^2 p/\hbar$, quindi $dX_0 = (2\sigma^2/\hbar)\,dp$ e $X_0^2/2\sigma^2 = 2\sigma^2p^2/\hbar^2$: $$P(p)\,dp = N^2 e^{-2\sigma^2p^2/\hbar^2}\,\frac{2\sigma^2}{\hbar}\,dp\qquad\text{(eq. 7.53).}$$
4. È esattamente la (7.50). Il cambio di variabile del punto 3 lo esplicitiamo noi; il risultato è nel libro (Norsen, p. 205).

L'onda pilota riproduce dunque la statistica quantistica dell'impulso, anche se prima dell'esperimento la particella era ferma. L'«impulso misurato» è prodotto dall'esperimento.

La misura di posizione è diversa

Se accoppiamo il puntatore alla posizione, $\hat H_{int} = \lambda\,\hat x\,\hat p_y$, si possono prendere $j_x = 0$ e $j_y = \lambda x\,|\Psi|^2$, quindi $\dot X = 0$ e $\dot Y = \lambda X$ (Norsen, pp. 219-220, Project 7.15). Lo spostamento finale del puntatore è proporzionale alla posizione effettiva della particella, che durante la misura non cambia: la misura di posizione rivela un valore preesistente. Per verificarlo basta notare che Schrödinger dà $\partial_t\Psi = -\lambda x\,\partial_y\Psi$, e quindi $\partial_t|\Psi|^2 = -\partial_y(\lambda x|\Psi|^2)$; questo controllo è nostro.

Lo stesso stato, due apparati, due risposte

La contestualità è più forte di così: può non esistere nemmeno un valore che la misura dovrebbe rivelare, perché l'esito dipende da come è fatto l'apparato. Nella misura di energia del §7 l'esito dipende da $\Psi(x,y,0)$, $X(0)$, $Y(0)$ e anche da $\lambda$, che fissa quanto in fretta le isole si separano; a parità di tutto il resto, apparati con $\lambda$ diversi possono mandare il punto di configurazione in isole diverse (Norsen, p. 206, e Project 7.9). Bell mostra lo stesso fenomeno con un modello ancora più semplice, che rende visibile il meccanismo.

1. La funzione d'onda ha un indice discreto e una coordinata: $\Psi(a,x,t)$ con $a = 1,2$. Puoi pensarla come la polarizzazione di un fotone, $a\in\{H,V\}$, accoppiata alla posizione trasversale. L'osservabile $O$ agisce sull'indice: $(O\Psi)(a,x) = \sum_b O(a,b)\Psi(b,x)$, con autovettori $\alpha_n$ e autovalori $O_n$ (Bell, art. 17, p. 172).
2. L'hamiltoniana è solo il termine di accoppiamento $g\,O\,\frac{\hbar}{i}\partial_x$, con $g$ costante; la massa è presa infinita, così non c'è termine cinetico (Bell, art. 17, p. 172). Sulla componente lungo $\alpha_n$ Schrödinger dà $\partial_t\Phi_n = -gO_n\,\partial_x\Phi_n$, la stessa equazione di trasporto del puntatore. Quindi $$\Psi(a,x,0) = \sum_n\Phi_n(x)\,\alpha_n(a)\ \ \Longrightarrow\ \ \Psi(a,x,t) = \sum_n\Phi_n(x - gO_n t)\,\alpha_n(a)\qquad\text{(Bell, art. 17, p. 172).}$$ I pacchetti si separano con velocità $gO_n$, come i due fasci di un cristallo birifrangente.
3. La particella ha posizione $X(t)$ con $\dot X = j/\rho$, dove $\rho = \sum_a|\Psi(a,x)|^2$ e $j = \sum_{a,b}\Psi^*(a,x)\,g\,O(a,b)\,\Psi(b,x)$ (Bell, art. 17, p. 173). Quando i pacchetti si sono separati, nel punto $X$ ne resta uno solo e $\dot X = gO_n$: la particella esce nel fascio $n$. L'esperimento che chiamiamo «misura dello spin» finisce con una posizione (Bell, art. 17, p. 173).
4. In una dimensione le traiettorie non si incrociano (§6), quindi l'ordine delle particelle sulla retta si conserva. Prendiamo un pacchetto iniziale $\Phi$ simmetrico intorno a $x = 0$ e due pesi uguali, $|c_1|^2 = |c_2|^2 = \frac12$. Alla fine metà delle particelle sta nel pacchetto che va verso $x$ grandi; per l'ordine conservato sono esattamente quelle partite con $X(0) > 0$.
5. Primo apparato: accoppiamento con $O = \sigma_z$, autovalore $+1$ per $\alpha_1$ (diciamo $H$). Il pacchetto $H$ va verso $x$ grandi. Una particella con $X(0) > 0$ esce nel fascio $H$: esito «$\sigma_z = +1$».
6. Secondo apparato: accoppiamento con $O = -\sigma_z$, che è la stessa grandezza con il cristallo girato (l'esito si legge cambiando segno). Ora è il pacchetto $V$ ad andare verso $x$ grandi. La stessa particella, con la stessa $X(0) > 0$ e la stessa $\Psi(0)$, esce nel fascio $V$: esito «$\sigma_z = -1$».

Due apparati che «misurano la stessa cosa» danno, sullo stesso sistema con le stesse variabili, risposte opposte. Questo esempio con il segno rovesciato non è nei due libri, ma applica alla lettera il modello di Bell e la sua conclusione: la particella non ha gradi di libertà interni, è il campo a più componenti che la trascina da una parte o dall'altra secondo la posizione iniziale, e il risultato dipende dall'intera disposizione sperimentale, come insegnava Bohr (Bell, art. 17, p. 174).

Per questo Bell, citato da Norsen, propone di abbandonare la parola «misura», che suggerisce la scoperta di un valore preesistente, e di dire «esperimento»: le misure di posizione sono misure genuine, quelle di energia, impulso e spin no (Norsen, p. 207; Bell, art. 17, pp. 177-178). Norsen sottolinea che nell'onda pilota la contestualità non è un artificio aggiunto per sfuggire ai teoremi: segue direttamente dai postulati dinamici (Norsen, p. 207).

9Il teorema di von Neumann rivisto da Bell

Per decenni si è ripetuto che von Neumann aveva dimostrato l'impossibilità delle variabili nascoste, cioè di qualunque completamento della funzione d'onda; Born riportava la prova nel suo libro, e nel 1952 Bohm «fece l'impossibile» (Bell, art. 17, pp. 170-171; Norsen, p. 208). L'onda pilota esiste e funziona, quindi la prova deve avere un buco. Bell lo trova nel 1966 (Bell, art. 1).

La domanda precisa è questa. Uno stato $\psi$ dà in generale solo probabilità. Esistono stati più fini, detti senza dispersione, in cui $\psi$ più alcune variabili aggiuntive $\lambda$ fissano con certezza l'esito di ogni misura, e la cui media riproduce le previsioni quantistiche, come nella meccanica statistica classica? (Bell, art. 1, p. 12).

L'ipotesi di von Neumann e il controesempio

1. Von Neumann assume che, se $O = pP + qQ$ con $p, q$ reali, allora il valore assegnato a $O$ sia la stessa combinazione dei valori assegnati a $P$ e $Q$, e lo chiede anche a ciascuno stato senza dispersione (Bell, art. 1, p. 15; Bell, art. 17, pp. 174-175).
2. Per le medie quantistiche l'additività è vera, per la linearità del prodotto scalare: $\langle\psi|pP + qQ|\psi\rangle = p\langle\psi|P|\psi\rangle + q\langle\psi|Q|\psi\rangle$. Per esempio con $|\psi\rangle = |H\rangle$: $\langle\sigma_z\rangle = 1$, $\langle\sigma_x\rangle = 0$, e $\langle A_{22,5°}\rangle = \cos 45° = 1/\sqrt2$, che è proprio $(\langle\sigma_z\rangle + \langle\sigma_x\rangle)/\sqrt2$. Il valore torna anche con la legge di Malus: $P(\text{passa}) = \cos^2 22{,}5°$ e $\langle A\rangle = 2P - 1 = \cos 45°$.
3. Prendiamo $\theta = 22{,}5°$: $A_{22,5°} = (\sigma_z + \sigma_x)/\sqrt2$. In uno stato senza dispersione ogni osservabile ha un valore preciso, che deve essere un autovalore: $v(\sigma_z), v(\sigma_x), v(A_{22,5°})\in\{+1,-1\}$.
4. L'additività richiederebbe $v(A_{22,5°}) = \frac{v(\sigma_z) + v(\sigma_x)}{\sqrt2}\in\left\{0, \pm\sqrt2\right\}$. Nessuno dei tre valori è $\pm 1$. Contraddizione: con l'ipotesi di von Neumann gli stati senza dispersione non esistono.

Bell usa lo spin: $S_x$, $S_y$ e la loro combinazione $(S_x + S_y)/\sqrt2$, con autovalori $\pm\frac12$ in unità $\hbar$, mentre le combinazioni $(\pm\frac12\pm\frac12)/\sqrt2$ non danno mai $\pm\frac12$ (Bell, art. 17, p. 175). La traduzione in polarizzazione è nostra; la matematica è identica.

Dov'è l'errore? Per misurare $A_{22,5°}$ serve un polarizzatore a $22{,}5°$, che è un esperimento diverso da quelli con il polarizzatore a $0°$ e a $45°$. Non c'è nessuna ragione per cui gli esiti individuali di tre esperimenti diversi debbano sommarsi. L'additività delle medie è una proprietà non banale degli stati quantistici, e basta che valga per la media sugli stati senza dispersione, non per ciascuno di essi (Bell, art. 1, pp. 15-16). Bell conclude che il postulato di von Neumann, richiesto caso per caso, è assurdo (Bell, art. 17, p. 175).

Il modello di Bell per un sistema a due livelli

Per mostrare che l'obiezione non è solo formale, Bell costruisce un modello esplicito che riproduce tutte le previsioni quantistiche per un sistema a due livelli (Bell, art. 1, p. 14). Ogni osservabile si scrive $\alpha + \vec\beta\cdot\vec\sigma$, con $\alpha$ reale e $\vec\beta$ vettore reale.

1. Autovalori. La matrice $\vec\beta\cdot\vec\sigma = \begin{pmatrix}\beta_z & \beta_x - i\beta_y\\ \beta_x + i\beta_y & -\beta_z\end{pmatrix}$ ha traccia nulla e determinante $-\beta_z^2 - (\beta_x^2 + \beta_y^2) = -|\vec\beta|^2$, quindi autovalori $\pm|\vec\beta|$. Gli autovalori di $\alpha + \vec\beta\cdot\vec\sigma$ sono $\alpha\pm|\vec\beta|$ (Bell, art. 1, p. 14, eq. 2). Questo calcolo è nostro.
2. Con una rotazione si porta lo stato in $\psi = \binom10$, che per la polarizzazione è $|H\rangle$. La meccanica quantistica dà $\langle\alpha + \vec\beta\cdot\vec\sigma\rangle = \alpha + \beta_z$.
3. La variabile nascosta è un numero $\lambda$ uniforme in $[-\frac12, \frac12]$. Il valore assegnato all'osservabile è $$v(\lambda) = \alpha + |\vec\beta|\;\mathrm{sign}\!\left(\lambda|\vec\beta| + \tfrac12|\beta_z|\right)\,\mathrm{sign}\,X,$$ dove $X = \beta_z$ se $\beta_z\neq 0$, altrimenti $X = \beta_x$, e se anche $\beta_x = 0$ allora $X = \beta_y$; $\mathrm{sign}\,X = +1$ per $X\ge 0$ e $-1$ per $X<0$ (Bell, art. 1, p. 14, eq. 3). Per ogni $\lambda$ il valore è un autovalore: lo stato $(\psi,\lambda)$ è senza dispersione.
4. Media su $\lambda$. Il primo segno vale $+1$ quando $\lambda > -|\beta_z|/(2|\vec\beta|)$, cioè su un intervallo lungo $\frac12 + \frac{|\beta_z|}{2|\vec\beta|}$, e $-1$ sul resto, lungo $\frac12 - \frac{|\beta_z|}{2|\vec\beta|}$. La sua media è la differenza, $|\beta_z|/|\vec\beta|$.
5. Quindi $\langle v\rangle = \alpha + |\vec\beta|\cdot\frac{|\beta_z|}{|\vec\beta|}\,\mathrm{sign}\,X = \alpha + |\beta_z|\,\mathrm{sign}\,X$. Se $\beta_z\neq 0$, $X = \beta_z$ e $|\beta_z|\,\mathrm{sign}\,\beta_z = \beta_z$. Se $\beta_z = 0$ il termine è zero comunque. In ogni caso $\langle v\rangle = \alpha + \beta_z$, come in meccanica quantistica. I passaggi 4-5 li esplicitiamo noi; Bell dà il risultato.

Il modello è deterministico e riproduce tutte le medie quantistiche; i valori individuali non sono additivi, per esempio a $\lambda$ fissato il valore di $\sigma_x + \sigma_z$ è $\pm\sqrt2$, mentre la somma dei valori di $\sigma_x$ e di $\sigma_z$ sta in $\{0, \pm2\}$ (Bell, art. 1, p. 15). Bell non attribuisce alcun significato fisico a $\lambda$: il modello serve solo a mostrare che la prova di impossibilità chiede troppo (Bell, art. 1, pp. 13-14).

Gleason e la dipendenza dal contesto

Si può indebolire l'ipotesi: chiedere l'additività solo per osservabili che commutano, che si misurano davvero insieme. Per un insieme completo di proiettori ortogonali $P_1 + P_2 + P_3 + \dots = 1$ vuol dire che, in ogni stato senza dispersione, uno e uno solo vale 1. Con questa ipotesi più debole, in dimensione almeno 3, il teorema di Gleason esclude ancora gli stati senza dispersione (Bell, art. 1, pp. 17-19). L'onda pilota rispetta l'additività per proiettori che commutano: accoppiando l'apparato a $\sum_n g_nP_n$ con $g_n$ distinti, i pacchetti si separano e la particella finisce in uno solo (Bell, art. 17, p. 176).

Bell individua però un'ipotesi nascosta nella prova. Lo stesso $P_1$ si può completare in modi diversi, $1 = P_1 + P_2 + P_3 = P_1 + P_2' + P_3'$, dove $P_2', P_3'$ commutano con $P_1$ ma non con $P_2, P_3$; serve la dimensione almeno 3 perché in dimensione 2 il completamento di $P_1$ è unico. La prova assume che il valore di $P_1$ sia lo stesso nei due casi. Ma sono due apparati diversi: nell'onda pilota cambiano l'hamiltoniana, gli autovettori, l'evoluzione $\Psi(t)$ e la traiettoria $X(t)$, e quindi anche l'esito per $P_1$ (Bell, art. 1, p. 20; art. 17, pp. 175-176). È la contestualità del §8. Bell costruisce anche un modello artificiale in cui l'esito di $P_n$ dipende da quali altri proiettori si misurano insieme, e che per questo sfugge al teorema (Bell, art. 1, p. 20).

La morale, per Norsen e per Bell, è che i teoremi di impossibilità escludono solo le teorie a variabili nascoste non contestuali, e l'onda pilota non è tra queste (Norsen, p. 207). Delle prove di impossibilità ne resta una sola significativa, quella che usa la causalità locale; e lì l'onda pilota non è un controesempio, anzi la sua nonlocalità esplicita ha fatto partire quella ricerca (Bell, art. 17, p. 178). Bell chiude osservando che le prove di impossibilità dimostrano soprattutto una mancanza di immaginazione (Bell, art. 17, p. 178).

10Molte particelle e nonlocalità

La legge guida per più particelle

Con due particelle la velocità della prima si calcola derivando rispetto a $x_1$ e valutando tutto nelle posizioni effettive di entrambe: $$v_1(t) = \frac{dX_1}{dt} = \frac{\hbar}{m_1}\,\mathrm{Im}\left[\frac{\partial_{x_1}\Psi(x_1, X_2(t), t)}{\Psi(x_1, X_2(t), t)}\right]_{x_1 = X_1(t)}\qquad\text{(Norsen, p. 209, eq. 7.54),}$$ e analogamente per la seconda. Per $N$ particelle in tre dimensioni, $\dot{\vec X}_k = \frac{\hbar}{m_k}\mathrm{Im}\big[\nabla_k\Psi/\Psi\big]$ valutato nella configurazione effettiva $(\vec X_1,\dots,\vec X_N)$; Bell la scrive nella forma $\dot{\vec x}_n = \vec j_n/\rho$ (Bell, art. 15, p. 138, eq. 7).

Se lo stato è un prodotto, $\Psi = \psi(x_1)\phi(x_2)$, allora $\partial_{x_1}\Psi/\Psi = \psi'(x_1)/\psi(x_1)$: il fattore $\phi(X_2)$ si semplifica e la particella 1 si muove come se la 2 non esistesse. Se lo stato è entangled, $\phi(X_2)$ non si semplifica più, e la velocità di 1 dipende da dove si trova 2 in quello stesso istante, a qualunque distanza (Bell, art. 1, pp. 21-22; Norsen, p. 209).

Due buche lontane in uno stato entangled

Norsen considera due particelle in due buche identiche lontanissime, nello stato $$\Psi(x_1,x_2,t) = \frac{1}{\sqrt2}\Big[\psi_1(x_1)\psi_2(x_2) + i\,\psi_2(x_1)\psi_1(x_2)\Big]\,e^{-i(E_1 + E_2)t/\hbar}\qquad\text{(Norsen, p. 209, eq. 7.55).}$$ È un autostato dell'energia totale, eppure le particelle si muovono, per via della fase relativa $i$. Il libro chiede di calcolare le correnti (Project 7.11, p. 219); ecco il conto.

1. Togliamo la fase globale e scriviamo $\Psi\propto c + i\,d$, con $c = \psi_1(x_1)\psi_2(x_2)$ e $d = \psi_2(x_1)\psi_1(x_2)$ reali.
2. $\frac{\partial_{x_1}\Psi}{\Psi} = \frac{\partial_{x_1}c + i\,\partial_{x_1}d}{c + i\,d}$. Moltiplicando sopra e sotto per $c - i\,d$, il denominatore diventa $c^2 + d^2$ e la parte immaginaria del numeratore è $c\,\partial_{x_1}d - d\,\partial_{x_1}c$.
3. Sostituendo: $c\,\partial_{x_1}d - d\,\partial_{x_1}c = \psi_1(x_2)\psi_2(x_2)\,\big[\psi_1(x_1)\psi_2'(x_1) - \psi_1'(x_1)\psi_2(x_1)\big]$.
4. Usiamo il risultato del §5, $\psi_1'\psi_2 - \psi_1\psi_2' = \frac{4\pi}{L^2}\sin^3u$ con $u = \pi x/L$, e $\psi_1\psi_2 = \frac{4}{L}\sin^2u\cos u$. Con $u_k = \pi x_k/L$ il numeratore è $-\frac{16\pi}{L^3}\sin^3u_1\,\sin^2u_2\cos u_2$, e il denominatore $c^2 + d^2 = \frac{16}{L^2}\sin^2u_1\sin^2u_2\,(\cos^2u_1 + \cos^2u_2)$.
5. Semplificando: $$\boxed{\ v_1 = -\frac{\hbar}{m}\frac{\pi}{L}\,\frac{\sin u_1\,\cos u_2}{\cos^2u_1 + \cos^2u_2},\qquad v_2 = +\frac{\hbar}{m}\frac{\pi}{L}\,\frac{\sin u_2\,\cos u_1}{\cos^2u_1 + \cos^2u_2}\ }$$ ($v_2$ si ottiene allo stesso modo derivando rispetto a $x_2$). Questa forma chiusa non è nel libro; l'abbiamo controllata numericamente.

Si legge subito che $v_1$ dipende da $x_2$ attraverso $\cos u_2$: se la particella 2 sta esattamente a metà della sua buca, $v_1 = 0$. Il campo di velocità non dipende dal tempo e il punto $(X_1, X_2)$ percorre un anello chiuso. Il verso è orario nel piano con $x_1$ in orizzontale e $x_2$ in verticale: per esempio in $(L/2, \text{vicino a }0)$ si ha $v_1<0$ e $v_2 = 0$, cioè sul lato basso dell'anello il punto va verso sinistra. La densità $|\Psi|^2\propto\sin^2u_1\sin^2u_2(\cos^2u_1 + \cos^2u_2)$ è stazionaria, con un nodo al centro $(L/2, L/2)$, ma la probabilità vi circola intorno come in un vortice (Norsen, pp. 210-211, Fig. 7.6-7.7).

Bob ferma la particella di Alice

1. Bob misura l'energia della particella 2 con un puntatore $y$ e l'accoppiamento $\lambda\hat H_{x_2}\hat p_y$ del §7 (Norsen, p. 211, eq. 7.57-7.58). Ogni termine trasla il puntatore secondo l'energia della particella 2: $$\Psi = \frac{1}{\sqrt2}\Big[\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\,\varphi(y - \lambda E_2t) + i\,\psi_2(x_1)\psi_1(x_2)\,\varphi(y - \lambda E_1t)\Big].$$
2. Quando i due termini si sono separati in $y$, il punto di configurazione sta in una sola isola e nella guida conta un solo termine (Norsen, p. 212, Fig. 7.8).
3. In entrambi i casi quel termine, a meno della costante $i$, è un prodotto di funzioni reali. Allora $\partial_{x_1}\Psi/\Psi = \psi_n'(x_1)/\psi_n(x_1)$ è reale e $v_1 = 0$ (Norsen, p. 212).
4. Detto con la funzione d'onda condizionale: quella della particella 1 «collassa» su $\psi_1$ o su $\psi_2$, che sono stati stazionari, e la particella 1 si ferma.

Un intervento su una particella ne ha fermata istantaneamente un'altra lontanissima: Norsen sottolinea che questa è azione a distanza esplicita (Norsen, p. 213).

Perché non si possono mandare segnali

La teoria ha la stessa statistica della meccanica quantistica, quindi Bob non può usare questo effetto per comunicare con Alice (Norsen, pp. 213-214). Verifichiamolo in questo esempio; il conto è nostro, la conclusione è del libro.

1. Prima della misura di Bob, la distribuzione di $X_1$ è $P_1(x_1) = \int|\Psi|^2dx_2 = \frac12\int(c^2 + d^2)\,dx_2$, perché con $c, d$ reali $|c + id|^2 = c^2 + d^2$. Usando $\int\psi_n^2\,dx_2 = 1$ si ottiene $P_1 = \frac12\big[\psi_1(x_1)^2 + \psi_2(x_1)^2\big]$.
2. Dopo la misura, con probabilità $\frac12$ resta il primo termine e la particella 1 è distribuita come $\psi_1(x_1)^2$; con probabilità $\frac12$ resta il secondo e la distribuzione è $\psi_2(x_1)^2$.
3. Alice non sa quale esito ha avuto Bob, quindi vede la media: $\frac12\psi_1^2 + \frac12\psi_2^2$, la stessa di prima. Nessuna statistica locale di Alice cambia.
4. Bob non può nemmeno scegliere il proprio esito, che dipende dalle posizioni iniziali che nessuno controlla. E per vedere il moto della particella 1 bisognerebbe interagire con lei, rompendo l'entanglement (Norsen, p. 213).

Le violazioni della località restano dietro le quinte. Norsen però è netto: se la relatività vieta qualunque influenza causale più veloce della luce, l'onda pilota è incompatibile con la relatività (Norsen, p. 214). Bell aggiunge che la nonlocalità è già nella meccanica quantistica stessa, e che una versione relativistica dell'onda pilota potrebbe richiedere un sistema di riferimento privilegiato (Bell, art. 15, p. 144). Nel suo modello con due spin, se i coefficienti si fattorizzano la velocità della particella 1 dipende solo dal proprio apparato; altrimenti dipende anche dall'impostazione dell'apparato lontano (Bell, art. 15, p. 143). Ci si chiede allora se ogni teoria a variabili nascoste debba essere nonlocale: è la domanda da cui nasce il teorema di Bell, che vedremo nella prossima parte (Norsen, pp. 216-217).

11Il potenziale quantistico (esercizio svolto)

Bohm nel 1952 presentava la teoria in forma newtoniana, con un'accelerazione prodotta dal potenziale classico più un potenziale quantistico $Q$. Norsen preferisce la legge del primo ordine e lascia $Q$ come esercizio (Norsen, p. 219, Project 7.12). Lo svolgiamo: tutti i passaggi che seguono sono nostri.

1. Inseriamo $\psi = R\,e^{iS}$ in Schrödinger. Servono le derivate: $\partial_t\psi = (\dot R + iR\dot S)\,e^{iS}$, $\partial_x\psi = (R' + iRS')\,e^{iS}$ e, derivando ancora con la regola del prodotto, $\partial_x^2\psi = \big[R'' - RS'^2 + i\,(2R'S' + RS'')\big]\,e^{iS}$.
2. Sostituiamo e semplifichiamo $e^{iS}$: $$i\hbar\,(\dot R + iR\dot S) = -\frac{\hbar^2}{2m}\big[R'' - RS'^2 + i\,(2R'S' + RS'')\big] + VR .$$
3. Parte reale: $-\hbar R\dot S = -\frac{\hbar^2}{2m}(R'' - RS'^2) + VR$. Dividendo per $R$ e riordinando: $$\hbar\,\partial_t S + \frac{\hbar^2}{2m}(\partial_x S)^2 + V + Q = 0,\qquad Q\equiv -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial_x^2R}{R}.$$
4. Parte immaginaria: $\hbar\dot R = -\frac{\hbar^2}{2m}(2R'S' + RS'')$. Moltiplicando per $2R/\hbar$ si ottiene $\partial_t R^2 = -\frac{\hbar}{m}(2RR'S' + R^2S'') = -\partial_x\big(R^2\,\frac{\hbar}{m}S'\big)$: è l'equazione di continuità del §3, con $j = R^2 v$.
5. Deriviamo la parte reale rispetto a $x$ e usiamo $v = \frac{\hbar}{m}S'$: $\partial_t v = \frac{\hbar}{m}\partial_x\dot S = -\frac{1}{m}\partial_x\big[\frac12 mv^2 + V + Q\big] = -v\,\partial_x v - \frac1m\partial_x(V + Q)$.
6. Lungo la traiettoria la derivata totale è $\frac{dv}{dt} = \partial_t v + \dot X\,\partial_x v = \partial_t v + v\,\partial_x v$ (derivata convettiva, come per un fluido). Sostituendo il punto 5: $$m\,\frac{d^2X}{dt^2} = -\frac{\partial}{\partial x}\big(V + Q\big)\Big|_{x = X}\qquad\text{(Norsen, p. 219, eq. 7.68).}$$

Per uno stato stazionario $S = -Et/\hbar$ più una costante, quindi $\partial_x S = 0$ e la parte reale dice $V + Q = E$: la somma è costante, la forza totale è nulla e la particella sta ferma. Il potenziale quantistico bilancia esattamente quello classico. Nella buca, con $R = \sqrt{2/L}\,\sin(\pi x/L)$ e $V = 0$, si ha $R'' = -(\pi/L)^2R$ e quindi $Q = \frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2} = E_1$: tutta l'energia dello stato fondamentale è potenziale quantistico, nessuna è cinetica. Per l'elettrone dell'idrogeno vale lo stesso, ed è la risposta all'ultima domanda del Project 7.12. Norsen lascia aperte altre due domande: se un'«energia potenziale quantistica» tolga la contestualità dell'energia, e se $K + V + Q$ si conservi (Norsen, p. 219, Projects 7.13-7.14).

12Le reazioni: da de Broglie a Bell

De Broglie presentò l'onda pilota nel 1927 e fu respinto quasi da tutti; nel 1927 solo Einstein gli fu favorevole, e de Broglie abbandonò l'idea. Bohm la riscoprì nel 1952 aspettandosi entusiasmo e ricevette ostilità: Oppenheimer la liquidò come una deviazione giovanile e suggerì di ignorarla, visto che non si riusciva a confutarla; Rosenfeld la trovò ingegnosa ma sbagliata; Pauli ne criticò l'ingenuità (Norsen, pp. 214-215). Anche Einstein, scrivendo a Born, giudicò la via di Bohm troppo a buon mercato; Norsen pensa che il motivo fosse la nonlocalità, che la teoria non elimina ma accentua (Norsen, p. 215).

La critica più articolata è di Heisenberg (Norsen, pp. 215-216). Teorie di questo tipo ripeterebbero Copenhagen in un'altra lingua e non sarebbero confutabili sperimentalmente; le onde nello spazio delle configurazioni non sarebbero reali; gli elettroni negli stati fondamentali sarebbero fermi; Bohm accetterebbe l'interpretazione ordinaria per la posizione e la rifiuterebbe per la velocità; i potenziali quantistici sarebbero introdotti ad hoc. Norsen risponde che Heisenberg tocca due punti veri, il problema ontologico dello spazio delle configurazioni e la differenza tra grandezze contestuali e non contestuali del §8, ma che l'accusa di non dire niente di nuovo sulla fisica solleva una questione filosofica su che cosa significhi, per una teoria, descrivere il mondo (Norsen, p. 216). Hai visto nel §5 e nel §11 che la particella ferma nello stato fondamentale non è un'assurdità, ma una conseguenza coerente della teoria.

Bell, nel 1966, vide l'onda pilota come il controesempio a tutte le prove di impossibilità, che presupponevano tacitamente la non contestualità; notò però il suo carattere grossolanamente nonlocale, che risolve il paradosso EPR nel modo che Einstein avrebbe gradito di meno, e si chiese se ogni teoria a variabili nascoste debba essere così (Norsen, pp. 216-217; Bell, art. 1, pp. 21-22). Nel 1982 si domandava perché i libri di testo la ignorassero, e proponeva di insegnarla come antidoto: vaghezza, soggettività e indeterminismo non sono imposti dai fatti sperimentali, ma da una scelta teorica deliberata (Bell, art. 17, p. 171).