Oltre Copenhagen · F · percorso parallelo con Norsen e Bell

Bilancio

Che cosa esiste, come evolve, da dove viene la probabilità: Copenhagen, onda pilota, GRW e molti mondi messi uno accanto all'altro, con le stesse equazioni sugli stessi esperimenti.

La mappa di questa parte

Nelle pagine precedenti abbiamo visitato una teoria alla volta. Qui facciamo il lavoro inverso: prendiamo poche domande fisse e le facciamo a tutte le teorie, come si fa con i candidati a un concorso quando si dà a tutti la stessa prova scritta. Le domande sono tre: che cosa esiste, come evolve, da dove viene la probabilità. Poi prendiamo due esperimenti fissi, la doppia fenditura e la misura di spin, e li raccontiamo quattro volte con le equazioni di ciascuna teoria. Alla fine separiamo con cura due cose che nei dibattiti si confondono spesso: i fatti (che cosa dicono le equazioni e gli esperimenti) e i giudizi (che cosa preferiscono Norsen e Bell, e perché).

Questa pagina richiama risultati dimostrati nelle altre: i tre problemi (misura, ontologia, località), l'onda pilota, il teorema di Bell, il collasso spontaneo e i molti mondi. Quando una formula è già stata derivata lì, qui la riscrivo e rimando alla pagina; i conti nuovi sono svolti per intero.

Un avvertimento sulle parole. Bell chiama beable (dall'inglese to be, ciò che è) le grandezze che una teoria dichiara esistenti, in contrapposizione agli observable, ciò che si osserva; un local beable è un beable che ha un valore in ogni regione dello spazio-tempo ordinario (Bell, art. 15, p. 137). La prima domanda è quindi: quali sono i beable di questa teoria?

1Tre domande e una tabella

Le tre domande, dette per bene

Che cosa esiste. Nel corso abbiamo detto che lo stato è un raggio $|\psi\rangle$ nello spazio di Hilbert (tappa «Lo stato è un raggio») e che nella base $x$ diventa una funzione d'onda $\psi(x)=\langle x|\psi\rangle$. Per $N$ particelle però la funzione d'onda è una sola, $\Psi(x_1,\dots,x_N)$, definita sullo spazio delle configurazioni a $3N$ dimensioni (la $i$-esima terna di coordinate dice dove sta la particella $i$). Non è un campo nello spazio ordinario. Se esiste solo $\Psi$, che cosa c'è qui, nel laboratorio? È il problema dell'ontologia della pagina A.

Come evolve. Il corso ha detto che cosa succede in una misura (terzo postulato, formula di Born, stato che diventa l'autostato trovato). Non ha ancora detto come evolve lo stato tra una misura e l'altra; lo farà con l'equazione di Schrödinger, che conoscete dai corsi precedenti. Le teorie differiscono proprio qui: alcune tengono il collasso, altre lo sostituiscono, altre lo aboliscono.

Da dove viene la probabilità. La regola di Born $P(a_n)=|\langle a_n|\psi\rangle|^2$ è un postulato del corso. In tre delle quattro teorie diventa un teorema, o almeno qualcosa che si prova a derivare, e il modo in cui la si ricava è diverso in ciascuna.

La tabella comparativa

La tabella è divisa in due metà con le stesse righe, perché otto colonne non entrano in una pagina leggibile. GRW compare due volte: la dinamica è la stessa, cambia la risposta alla prima domanda. Nella versione GRWm esiste una densità di massa nello spazio ordinario; nella versione GRWf esistono solo eventi puntiformi nello spazio-tempo, i «flash», uno per ogni colpo (Norsen, pp. 267-269).

2Le sei visioni di Bell

Il cannone elettronico

Bell parte da un oggetto che nel 1986 stava in ogni casa: il cannone elettronico di un televisore (Fig. 1, p. 192). Un filamento caldo W emette elettroni, che attraversano un foro H in uno schermo e vanno a colpire lo schermo fluorescente, dove ciascuno fa un puntino di luce. Bell racconta tre fatti (pp. 193-198).

1. Sotto una certa misura, rimpicciolendo il foro la macchia sullo schermo si allarga (Fig. 2, pp. 194-195).
2. Con due fori H1 e H2 vicini compaiono frange: in certi punti arrivano meno elettroni che con un foro solo (Figg. 3-5, pp. 194-196).
3. La meccanica ondulatoria descrive tutto con un'onda che parte da W, passa da entrambi i fori e interferisce come le onde sull'acqua, più una regola: la probabilità di vedere il puntino in un punto è l'intensità dell'onda lì (p. 198).

Il primo fatto è l'indeterminazione del corso. Un foro di larghezza $a$ prepara uno stato con $\Delta x\approx a$; dalla disuguaglianza $\Delta x\,\Delta p\ge\hbar/2$ (tappa «Indeterminazione») segue $\Delta p_x\gtrsim\hbar/(2a)$, quindi un angolo di apertura $\Delta\theta\approx\Delta p_x/p\gtrsim\hbar/(2ap)$ e, a distanza $L$, una macchia larga circa $L\hbar/(2ap)$, tanto più grande quanto più piccolo è $a$. Questa stima non è nell'articolo di Bell, che descrive il fenomeno a parole.

Il punto centrale dell'articolo viene dopo (pp. 198-199). La matematica è fatta solo di onde lisce e deterministiche: non c'è traccia di particelle né di lampi localizzati. Per spiegare il puntino bisogna includere nel sistema lo schermo, poi la lastra, poi l'occhio, ma non si può includere tutto, perché l'onda del mondo intero non somiglia al mondo che vediamo. Resta sempre un resto descritto classicamente. Per Bell la vera rottura con la fisica classica è che questa divisione tra quantistico e classico sia indispensabile e allo stesso tempo spostabile a piacere (p. 199). Le sei visioni sono sei modi di reagire a questo fatto. Le racconto tutte sullo stesso esperimento: due fori, un elettrone, un puntino.

1. La visione pragmatica (non romantica)

Non abbiamo diritto a un'immagine chiara del mondo atomico; le regole funzionano, e quando c'è un dubbio si allarga il sistema (pp. 199-200). Nel cannone: si calcola l'onda da W attraverso H1 e H2 fino allo schermo, si applica la regola $|\psi|^2$ allo schermo, e la domanda «da quale foro è passato?» non si pone. Bell la chiama la filosofia di lavoro di tutti, «in orario d'ufficio». Nella tabella è la riga Copenhagen nella forma dei manuali, quella che Mermin riassume con «Shut up and calculate!» (Norsen, p. 181).

2. La complementarità di Bohr (romantica)

Bohr insiste che esista un livello classico fatto di eventi definiti, descritti con linguaggio e logica ordinari (pp. 200-201). Il puntino sullo schermo è un fenomeno classico; onda e particella sono due immagini che si escludono e sono entrambe necessarie. Nel cannone: si può allestire l'esperimento per sapere da quale foro passa l'elettrone, oppure per vedere le frange, non entrambe le cose. Bell osserva che Bohr usa «complementare» quasi nel senso opposto a quello comune, cioè nel senso di «contraddittorio»: il contrario sono le viste di un elefante da più lati, che si completano davvero (p. 201). Norsen ricostruisce la complementarità alle pp. 154-156 e l'argomento di Bohr sulle frange alle pp. 168-170.

3. La Schrödinger non lineare o stocastica (non romantica)

Il piccolo e il grande si raccordano con matematica precisa: elettroni «nuvolosi», tavoli localizzati (p. 201). Nel cannone: l'onda passa da entrambi i fori secondo Schrödinger, perché un solo elettrone è un sistema piccolo; quando l'onda arriva sullo schermo e mette in moto molti atomi, un termine non lineare e casuale nell'equazione la riduce a un puntino. Bell, nel 1986, scrive che c'erano tentativi pionieristici ma nessuna svolta. Nello stesso periodo commenta GRW nell'art. 22 come realizzazione di questa idea: è la riga GRW della tabella.

4. Mente e materia (romantica)

La divisione tra evoluzione lineare e salto cade tra la materia e la mente: l'onda resta sovrapposta finché qualcuno non guarda (Wigner); Wheeler arriva a proporre che l'esistenza stessa del mondo dipenda dalla partecipazione della mente (pp. 201-202). Nel cannone: lo schermo fluorescente e la retina sono in sovrapposizione di «puntino qui» e «puntino là» fino all'atto di coscienza. Bell nota che non esiste una formulazione precisa (p. 202). Questa visione non ha una riga nella tabella, perché nessuno dei due libri la sviluppa come teoria; Norsen la propone solo come oggetto di discussione nel Progetto 3.9 (pp. 94-95).

5. L'onda pilota (non romantica)

De Broglie nel 1925 e Bohm nel 1952 rispondono alla domanda «onda o particella?» con «particella e onda» (pp. 202-203). Nel cannone: l'elettrone passa da un foro solo, guidato da un'onda che passa da entrambi. Non c'è nessuna divisione tra quantistico e classico, perché le grandezze «classiche» sono le posizioni, che esistono sempre. La teoria è deterministica, e l'imprevedibilità viene dall'ignoranza delle posizioni iniziali. Bell la presenta come un'illustrazione precisa della complementarità nel senso ordinario della parola: le due immagini si completano (p. 203).

6. I molti mondi (romantica)

Nessuna onda «vuota»: ovunque possa esserci un lampo sullo schermo, c'è un lampo, e il mondo si moltiplica (pp. 203-204). Nel cannone: dopo l'arrivo sullo schermo ci sono tanti mondi quanti sono i punti possibili, in ciascuno un puntino diverso. Bell riconosce che questa visione risolve lo stesso problema dell'onda pilota, ma obietta che non è «solo la funzione d'onda»: aggiunge di nascosto una classificazione delle possibilità (la posizione della macchia, la lettura dello strumento), che la funzione d'onda da sola non elenca, e la aggiunge in modo impreciso; non si sa fino a che scala microscopica arrivi la ramificazione (p. 204).

3Lo stesso esperimento in quattro teorie: la doppia fenditura

La funzione d'onda comune

Tutte e quattro le teorie usano la stessa $\Psi$ finché nessuno strumento entra in gioco. Le fenditure sono modellate come due pacchetti gaussiani di larghezza $\sigma$ centrati in $x=\pm a$ (la distanza tra le fenditure è $d=2a$); la coordinata $x$ è trasversale, e il moto in avanti con velocità $v$ trasforma il tempo nella distanza $y=vt$ dalle fenditure. Con l'abbreviazione $s_t\equiv\sigma^2+i\hbar t/2m$:

(Norsen, eq. 2.57, p. 59, e eq. 7.32, p. 196). Per linearità di Schrödinger, ciascun pacchetto evolve come se l'altro non ci fosse.

Copenhagen: la densità sullo schermo e la spaziatura delle frange

Per Copenhagen la domanda legittima è una sola: con che probabilità il puntino compare in $x$? La risposta è $|\Psi|^2$, ed è qui che compaiono le frange. Come per l'interferenza tra stato puro e miscela della Lezione 1:

Il terzo termine è l'interferenza; con una miscela al 50 per cento delle due fenditure mancherebbe. Calcoliamo dove sono le frange. Il libro lo lascia come Progetto 6.7 (pp. 182-184); ecco il conto.

1. Fase di ciascun pacchetto. Scrivo $\tau\equiv\hbar t/2m$, così $s_t=\sigma^2+i\tau$. Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato, $\frac{1}{s_t}=\frac{\sigma^2-i\tau}{\sigma^4+\tau^2}$. Quindi l'esponente di $\Psi_\pm$ è $$-\frac{(x\mp a)^2}{4s_t}=-\frac{(x\mp a)^2\sigma^2}{4(\sigma^4+\tau^2)}+i\,\frac{(x\mp a)^2\,\tau}{4(\sigma^4+\tau^2)}.$$ La parte reale fissa il modulo, la parte immaginaria è la fase $\varphi_\pm=\frac{(x\mp a)^2\tau}{4(\sigma^4+\tau^2)}$. È lo stesso passaggio che Norsen fa per un pacchetto solo (eq. 7.27-7.28, p. 195).
2. Differenza di fase. Il termine di interferenza contiene $\cos(\varphi_+-\varphi_-)$. Usando $(x-a)^2-(x+a)^2=-4ax$: $$\varphi_+-\varphi_-=\frac{\tau}{4(\sigma^4+\tau^2)}\left[(x-a)^2-(x+a)^2\right]=-\frac{a\,x\,\tau}{\sigma^4+\tau^2}.$$
3. Zona lontana. Lontano dalle fenditure $\tau\gg\sigma^2$, quindi $\sigma^4+\tau^2\approx\tau^2$ e $\varphi_+-\varphi_-\approx-ax/\tau$. In questa zona i due moduli sono quasi uguali vicino all'asse, e $|\Psi|^2\propto1+\cos(ax/\tau)$.
4. Periodo. Il coseno si ripete quando $ax/\tau$ cresce di $2\pi$, cioè ogni $\Delta x=2\pi\tau/a=\pi\hbar t/(ma)$.
5. Nelle grandezze dell'ottica. Con $d=2a$, la distanza $L=vt$ e la lunghezza d'onda di de Broglie $\lambda_{dB}=2\pi\hbar/(mv)$: $$\Delta x=\frac{\pi\hbar t}{ma}=\frac{2\pi\hbar}{mv}\cdot\frac{vt}{2a}=\frac{\lambda_{dB}\,L}{d}.$$ È la formula delle frange di Young, la stessa (6.5)-(6.6) che Norsen usa per ricostruire l'argomento di Bohr (pp. 169-170).

Fin qui tutte le teorie sono d'accordo, perché è un conto su $\Psi$. Copenhagen si ferma: alla domanda «da quale fenditura è passato l'elettrone che ha fatto questo puntino?» non c'è risposta, e secondo Bohr non c'è una domanda. Per sapere da dove passa servirebbe un rinculo misurabile del diaframma, $\Delta P\le\frac{h}{\lambda}\frac{d}{L}$, che per l'indeterminazione allarga la posizione del diaframma di $\Delta Q\ge\lambda L/d=\Delta x$ e cancella le frange (Norsen, eq. 6.4-6.6, pp. 169-170). Al momento del puntino lo stato collassa.

Onda pilota: le stesse frange con traiettorie

Alla stessa $\Psi$ si aggiunge la posizione effettiva $X(t)$, che obbedisce all'equazione guida (pagina B):

(Norsen, eq. 7.6, p. 188). Tre proprietà, tutte dimostrabili con quello che abbiamo.

1. La particella non attraversa l'asse. La $\Psi$ è pari: $\Psi(-x,t)=\Psi(x,t)$, perché scambiare $x\to-x$ scambia i due addendi. La derivata di una funzione pari è dispari, $\partial_x\Psi(-x,t)=-\partial_x\Psi(x,t)$, quindi $v(-x,t)=-v(x,t)$ e in particolare $v(0,t)=0$. Una traiettoria che toccasse $x=0$ ci resterebbe; poiché le traiettorie di un'equazione del primo ordine non si incrociano, nessuna lo attraversa. Chi arriva nella metà superiore dello schermo è passato dalla fenditura superiore. Il libro mostra il fatto nella Fig. 7.4 (p. 197) senza commentarlo; Bell lo enuncia nell'esperimento a scelta ritardata (art. 14, p. 124).
2. La statistica è quella di Born. Se le partenze sono distribuite come $|\Psi(x,0)|^2$, per equivarianza gli arrivi sono distribuiti come $|\Psi(x,t)|^2$ (Norsen, p. 191): le stesse frange del punto precedente, con la stessa $\Delta x=\lambda_{dB}L/d$.
3. Lontano le traiettorie sono quasi rette. Questo conto non è nel libro. Nella zona lontana, dove i due moduli sono quasi uguali, $\Psi\approx A\,(e^{i\varphi_+}+e^{i\varphi_-})=2A\,e^{i(\varphi_++\varphi_-)/2}\cos\frac{\varphi_+-\varphi_-}{2}$. Dove il coseno è positivo la fase è $S=(\varphi_++\varphi_-)/2=\frac{(x^2+a^2)\tau}{4(\sigma^4+\tau^2)}$ più termini che non dipendono da $x$. La parte immaginaria di $\partial_x\Psi/\Psi$ è $\partial_xS$ (Progetto 7.1, p. 217), quindi $$v=\frac{\hbar}{m}\,\partial_xS=\frac{\hbar}{m}\,\frac{x\,\tau}{2(\sigma^4+\tau^2)}\approx\frac{\hbar x}{2m\tau}=\frac{x}{t}.$$ Una velocità $x/t$ significa moto rettilineo uniforme dall'origine. Le traiettorie vanno dritte dentro le frange luminose e cambiano direzione rapidamente vicino ai nodi, dove l'approssimazione dei moduli uguali cade: sono i «gradini» della Fig. 7.4.

È il laboratorio bohm della pagina B: con «Mostra 41 traiettorie» si vede che nessuna attraversa la linea centrale e che si ammassano sulle frange.

GRW: quasi niente da aggiungere, finché non arriva lo schermo

Per GRW la $\Psi$ di un elettrone singolo evolve con Schrödinger, salvo colpi rarissimi. Quanto rari? I colpi sono un processo di Poisson di tasso $\lambda\approx10^{-16}\ \mathrm{s^{-1}}$ (Norsen, eq. 9.2, p. 255): la probabilità di nessun colpo in un tempo $T$ è $e^{-\lambda T}$, quindi la probabilità di almeno un colpo durante il volo è $1-e^{-\lambda T}\approx\lambda T$. Con un tempo di volo di un millisecondo (valore mio, per fissare le idee) viene $10^{-19}$. Norsen lo dice così: una particella singola è colpita in media una volta ogni 300 milioni di anni, quindi l'interferenza a due fenditure non è toccata (p. 261).

Lo schermo invece è fatto di moltissime particelle. Quando l'elettrone lo raggiunge, la $\Psi$ complessiva diventa una sovrapposizione di «granello annerito in $x_1$», «granello annerito in $x_2$», e così via, e ciascun termine sposta molte particelle. Con $N$ particelle coinvolte il tasso effettivo è $N\lambda$, e un colpo su una qualsiasi di esse seleziona un solo termine, con probabilità pari alla sua norma (Norsen, pp. 264-266). Le due versioni dicono cose diverse sul volo.

• GRWm. Per un elettrone solo $\rho(x,t)=m|\Psi(x,t)|^2$: la massa dell'elettrone passa letteralmente da entrambe le fenditure, distribuita, e si concentra in un punto solo quando lo schermo viene colpito.
• GRWf. Durante il volo non c'è quasi mai nessun flash, quindi tra la sorgente e lo schermo l'elettrone, nel senso dei beable, non è niente. I flash compaiono nei granelli dello schermo. Norsen nota che per GRWf anche un puntatore è quasi sempre «letteralmente nulla» a un istante fissato (p. 269).

Molti mondi: tutti i puntini

Per Everett la $\Psi$ fa lo stesso, e quando arriva allo schermo continua a evolvere linearmente. Se chiamo $|D_x\rangle$ lo stato dello schermo con il granello annerito in $x$ (e $|D_0\rangle$ quello intatto), la linearità dà

con la stessa struttura della misura ideale (10.1)-(10.2) (Norsen, p. 281). Ogni posizione del puntino è un ramo, e il peso del ramo «puntino in $[x,x+dx]$» è $|\Psi(x,T)|^2dx$. Prima dello schermo non ci sono mondi distinti: la differenza tra «di qui» e «di là» è microscopica e i due termini si ricombinano nelle frange (Norsen, didascalia della Fig. 10.6, p. 302). I rami diventano mondi separati quando la differenza è macroscopica: due configurazioni dello schermo che differiscono di $d$ in $10^{23}$ coordinate distano, per Pitagora in molte dimensioni, $d\sqrt{10^{23}}$ nello spazio delle configurazioni (Norsen, pp. 285-286).

4Lo stesso esperimento in quattro teorie: la misura di spin

La dinamica comune: il magnete sposta i due termini

Il campo disomogeneo dello Stern-Gerlach spinge in su la componente $|{+}\rangle$ e in giù la componente $|{-}\rangle$. Il modello più semplice, che Bell usa con $\hbar=1$ (art. 15, eq. 11, p. 141), è l'hamiltoniana $\hat H=g(t)\,\hat\sigma_z\,\hat p_z$, con $\hat p_z=-i\hbar\partial_z$ e $g(t)$ un'intensità di accoppiamento che si accende per un tempo breve. La particella è pesante, così il termine cinetico si trascura durante l'interazione, come per il puntatore di Norsen (eq. 3.10, p. 77).

1. Stato iniziale. $\Psi(z,0)=\phi(z)\,(c_+|{+}\rangle+c_-|{-}\rangle)$, con $\phi$ un pacchetto di larghezza $s$ centrato in $z=0$.
2. Componenti. Scrivo $\Psi=\psi_+(z,t)|{+}\rangle+\psi_-(z,t)|{-}\rangle$ e uso $\hat\sigma_z|{\pm}\rangle=\pm|{\pm}\rangle$. L'equazione $i\hbar\partial_t\Psi=\hat H\Psi$ si separa in due: $$i\hbar\,\partial_t\psi_\pm=\pm g(t)\,(-i\hbar\,\partial_z)\psi_\pm\quad\Longrightarrow\quad\partial_t\psi_\pm=\mp g(t)\,\partial_z\psi_\pm.$$
3. Soluzione. È un'equazione di trasporto: la funzione trasla rigidamente con velocità $\pm g$. Con $h(t)=\int_{-\infty}^t g(t')\,dt'$ la soluzione è $\psi_\pm(z,t)=c_\pm\,\phi(z\mp h(t))$. Verifica: $\partial_t\phi(z\mp h)=\phi'(z\mp h)\cdot(\mp\dot h)=\mp g\,\phi'$, e $\mp g\,\partial_z\phi(z\mp h)=\mp g\,\phi'$; i due membri coincidono.
4. Stato finale. $$\Psi(z,t)=c_+\,\phi(z-h)\,|{+}\rangle+c_-\,\phi(z+h)\,|{-}\rangle.$$ Quando $h\gg s$ i due termini hanno supporti disgiunti in $z$: la posizione verticale è diventata un registro dello spin.

Bell scrive il risultato come $\psi_m(t)=\phi(r-(-1)^mh)\,a_m$ (eq. 13, p. 141): nella sua rappresentazione $\hat\sigma=\mathrm{diag}(-1,+1)$, quindi la componente $m=1$ scende e la $m=2$ sale. Qui uso la convenzione di Norsen e del corso, $\hat\sigma_z=\mathrm{diag}(+1,-1)$. La fisica non cambia, cambiano solo le etichette.

Copenhagen

La probabilità di trovare la particella nella zona alta è, per la regola di Born nella base $z$ e per l'ortonormalità di $|{\pm}\rangle$,

perché il termine $\phi(z+h)$ nella zona alta è trascurabile. Quando lo strumento registra «alto», lo stato collassa su $\phi(z-h)|{+}\rangle$, come nell'eq. 3.2 di Norsen (p. 72). Il problema della misura è tutto qui: perché la sovrapposizione dello stato finale, che Schrödinger produce, va sostituita da uno solo dei termini?

Onda pilota

La particella ha una posizione $Z(t)$ e si muove con $j/\rho$. In questo modello Bell calcola densità e corrente (art. 15, eq. 15-17, pp. 141-142); rifaccio i passaggi.

1. Densità. Sommando sugli indici di spin, $\rho(z,t)=|\psi_+|^2+|\psi_-|^2=|c_+|^2|\phi(z-h)|^2+|c_-|^2|\phi(z+h)|^2$.
2. Corrente. Dall'equazione del passo 2 si ha $\partial_t|\psi_\pm|^2=\mp g\,\partial_z|\psi_\pm|^2$ (stessa equazione di trasporto per il modulo quadro). Sommando, $\partial_t\rho=-\partial_z j$ con $$j(z,t)=g\left(|c_+|^2|\phi(z-h)|^2-|c_-|^2|\phi(z+h)|^2\right).$$ Non compare $\hbar/m$ perché l'hamiltoniana non ha termine cinetico: la «velocità» è l'operatore $g\hat\sigma_z$ (Bell, p. 142).
3. Equazione guida. $$\frac{dZ}{dt}=\frac{j(Z,t)}{\rho(Z,t)}=g\,\frac{|c_+|^2|\phi(Z-h)|^2-|c_-|^2|\phi(Z+h)|^2}{|c_+|^2|\phi(Z-h)|^2+|c_-|^2|\phi(Z+h)|^2}.$$ Il rapporto è compreso tra $-1$ e $+1$, quindi $|\dot Z|\le g$. Dopo la separazione resta un solo termine dove sta la particella, e $\dot Z=+g$ oppure $-g$: la particella segue $+h(t)$ o $-h(t)$.
4. Chi va su. Questo passaggio non è nei libri; lo ricavo da equivarianza e non-incrocio. Le traiettorie in una dimensione non si incrociano, quindi conservano l'ordine. Di più, la probabilità che sta sopra una traiettoria si conserva: derivando, $\frac{d}{dt}\int_{Z(t)}^{\infty}\rho\,dz=-\rho(Z)\dot Z+\int_{Z}^{\infty}\partial_t\rho\,dz=-\rho(Z)\dot Z+j(Z)=0$, dove ho usato $\partial_t\rho=-\partial_zj$ e $j(\infty)=0$. Alla fine sopra la particella c'è o una parte del pacchetto alto (se lei è nel pacchetto alto) o tutto il pacchetto alto più una parte di quello basso. Il pacchetto alto pesa $|c_+|^2$; quindi la particella finisce in alto se e solo se la probabilità sopra di lei all'inizio era minore di $|c_+|^2$. Detta $z^*$ la soglia definita da $$\int_{z^*}^{\infty}|\phi(z)|^2\,dz=|c_+|^2,$$ la particella va su se e solo se $Z(0)>z^*$. Con $Z(0)$ distribuita come $|\phi|^2$, la probabilità di andare su è proprio $|c_+|^2$.

Contestualità. Prendiamo $c_+=c_-=1/\sqrt2$ (lo stato $\psi_{+x}$ della (3.40)) e $\phi$ simmetrica: la soglia è $z^*=0$, e va su chi parte nella metà superiore. Ora rovesciamo il magnete, $g\to-g$. Il termine $|{+}\rangle$ adesso scende e $|{-}\rangle$ sale, e il ragionamento del passo 4 dice di nuovo che sale chi parte con $Z(0)>0$. La stessa particella, con la stessa $Z(0)$ e la stessa $\Psi(0)$, dà «spin $+$» con un orientamento del magnete e «spin $-$» con l'altro. L'esito non rivela una proprietà della particella; dipende dall'intero apparato. Questo esempio in questa forma non è nei due libri; il principio sì: Norsen §7.5 (pp. 203-207) per l'energia, Bell art. 17 per lo spin (pp. 174, 176), che conclude che solo le misure di posizione sono misure genuine.

GRW

La particella da sola non viene praticamente mai colpita, quindi la separazione dei pacchetti procede come nella dinamica comune. La differenza arriva con il rivelatore. Sia $\chi_\uparrow$ lo stato di un contatore di $M$ particelle che è scattato in alto, $\chi_\downarrow$ quello scattato in basso; la linearità porta a

che è la forma (12) di Bell (art. 22, p. 215). Ora i colpi arrivano con tasso $M\lambda$. Un colpo su una particella del contatore centrato nella regione di $\chi_\uparrow$ moltiplica $\Psi$ per una gaussiana che è quasi nulla su $\chi_\downarrow$, e dopo la rinormalizzazione resta solo il primo termine. La probabilità che il centro cada dalla parte di $\chi_\uparrow$ è la norma di quel termine, $|c_+|^2$ (Bell, p. 215; Norsen, pp. 265-266, con la Fig. 9.6). Con $M=10^{23}$ il tempo d'attesa è $1/(M\lambda)=10^{-7}$ s. Norsen scrive «circa 30 ns» (p. 265), che è più piccolo di un fattore 3 rispetto a quanto danno i suoi stessi valori di $\lambda$; l'ordine di grandezza non cambia.

In GRWm la densità di massa del contatore è per una frazione di microsecondo divisa tra «scattato» e «non scattato», poi si concentra; in GRWf i flash compaiono solo nel contatore che scatta.

Molti mondi

Per Everett non succede nient'altro: lo stato resta la sovrapposizione scritta sopra, con in più l'osservatore $O$ che legge il contatore, come nelle eq. 10.3-10.4 di Norsen (p. 282):

Lo stato relativo del contatore rispetto a $|{+}\rangle$ si ottiene proiettando: $\left(|{+}\rangle\langle{+}|\otimes\mathbb 1\right)|\Psi\rangle=c_+\,|{+}\rangle\otimes\phi(z-h)\chi_\uparrow O_\uparrow$, che normalizzato dà «contatore in alto, osservatore che ha visto alto» (Norsen, eq. 10.5-10.7, p. 283). Esistono entrambi gli osservatori. La regola di Born diventa la domanda: perché il ramo con peso $|c_+|^2$ conta come «probabilità $|c_+|^2$»? Nel caso $c_+=c_-$ il conteggio dei rami basta; per pesi diversi serve un argomento in più (Norsen, pp. 289-292, e il laboratorio rami della pagina E).

E con due particelle lontane

Lo stesso esperimento con una coppia nello stato di singoletto e due magneti lontani, uno di Alice e uno di Bob, è quello che decide la colonna della località. Riassumo che cosa fa ciascuna teoria, rimandando alla pagina C per i conti.

• Copenhagen. La misura di Alice fa collassare lo stato della coppia, e quindi anche quello della particella di Bob.
• Onda pilota. Con due spin la velocità della particella 1 durante la separazione dipende anche da $h_2$, cioè dall'impostazione del magnete lontano, a meno che lo stato non sia un prodotto $a_{mn}=b_mc_n$ (Bell, art. 15, eq. 18-19, pp. 142-143).
• GRW. Il primo colpo nel contatore di Alice seleziona un termine dell'intero stato entangled e decide anche il lato di Bob (Bell, art. 22, p. 216; Norsen, pp. 269-271).
• Molti mondi. Ogni lato si divide localmente, ma quando Alice e Bob si incontrano esistono solo i due rami con esiti opposti, non quattro: le divisioni separate sono correlate (Norsen, pp. 302-303).

In tutti i casi le correlazioni sono quelle quantistiche, $C(\theta)=-\cos\theta$ per il singoletto e $E=\cos2(\alpha-\beta)$ per i fotoni del laboratorio chsh, con $S=2\sqrt2$ agli angoli ottimali.

5Che cosa direbbe un esperimento

Tre teorie empiricamente equivalenti

Le due sezioni precedenti mostrano un fatto generale. Onda pilota e molti mondi usano la stessa equazione di Schrödinger esatta di Copenhagen, e ricavano la stessa regola di Born (la prima per equivarianza, la seconda se si accettano i pesi $|c_i|^2$). Quindi danno le stesse predizioni di Copenhagen in tutti i casi in cui Copenhagen è univoca. Bell lo enuncia per l'onda pilota: la versione di de Broglie-Bohm è sperimentalmente equivalente a quella usuale dove quest'ultima non è ambigua, e in più non ha bisogno di dividere sistema e apparato (art. 14, p. 122). La clausola «dove non è ambigua» conta: secondo Bell la scelta del punto in cui mettere il taglio di Heisenberg non è indifferente in linea di principio, e la ricetta pratica è includere nel sistema abbastanza mondo da non cambiare le predizioni includendone di più (art. 15, pp. 134-135).

Due riserve, da tenere distinte dai fatti. Per l'onda pilota, l'equivalenza vale se le posizioni sono in equilibrio, $P=|\Psi|^2$; Norsen elenca l'ipotesi di equilibrio quantistico tra le direzioni di studio (Dürr, Goldstein, Zanghì; Valentini; p. 312). Fuori dall'equilibrio la statistica sarebbe diversa, ma nessuno dei due libri sviluppa questa possibilità. Per i molti mondi, Norsen osserva che la teoria coincide con GRW con $\lambda=0$ (Progetto 10.16, p. 308).

GRW si può smentire

GRW cambia l'equazione, quindi cambia le predizioni. Le fissa due costanti di natura, $\lambda\approx10^{-16}\ \mathrm{s^{-1}}$ e $\sigma\approx10^{-7}$ m (Norsen, eq. 9.2 e 9.6, pp. 255-256), e da quel momento è falsificabile (p. 272). Vediamo i due effetti principali con due conti brevi, che il libro descrive a parole.

Primo effetto: frange di oggetti grandi. Questo conto non è nel libro. Prendiamo un oggetto di $N$ particelle in sovrapposizione di due posizioni distanti $d\gg\sigma$, mandato in un interferometro per un tempo $T$.

1. Un solo colpo su una qualsiasi delle $N$ particelle basta a sopprimere uno dei due termini, di un fattore $e^{-d^2/4\sigma^2}$ in ampiezza nella convenzione di Norsen; per $d\gg\sigma$ il termine sparisce e l'interferenza con lui.
2. I colpi sulle $N$ particelle sono processi di Poisson indipendenti; la loro sovrapposizione è un processo di Poisson di tasso $N\lambda$ (Norsen, p. 265). La probabilità di nessun colpo nel tempo $T$ è $e^{-N\lambda T}$.
3. Sulle ripetizioni dell'esperimento, una frazione $e^{-N\lambda T}$ di oggetti arriva con la sovrapposizione intatta e fa frange; gli altri arrivano localizzati e fanno la somma di due macchie. La visibilità delle frange si riduce quindi a $V\approx e^{-N\lambda T}$.
4. Numeri. Un neutrone ($N=1$) sovrapposto per una frazione di secondo dà solo il vincolo $\lambda\ll1\ \mathrm{s^{-1}}$ (Norsen, pp. 272-273). Una molecola di fullerene C$_{60}$ ha circa $60\times(12+6)\approx10^3$ particelle (p. 273); con un tempo di volo di $10^{-2}$ s (valore mio) $N\lambda T\approx10^{3}\cdot10^{-16}\cdot10^{-2}=10^{-15}$, e la riduzione è invisibile. Per vedere $N\lambda T\approx1$ in un secondo servono $N\approx10^{16}$ particelle in sovrapposizione.

Secondo effetto: riscaldamento. Anche questo conto non è nel libro, che dice solo che i colpi aggiungono componenti di Fourier di impulso alto e quindi energia (p. 273); è il Progetto 9.9 (p. 277). Un elettrone di conduzione molto delocalizzato, con impulso medio nullo, viene colpito e diventa una gaussiana $\psi\propto e^{-(x-r)^2/4\sigma^2}$, per cui $|\psi|^2$ ha deviazione standard $\sigma$. Per una gaussiana vale l'uguaglianza nell'indeterminazione, $\Delta x\,\Delta p=\hbar/2$ (tappa «Indeterminazione»), quindi $\Delta p=\hbar/2\sigma$ e $\langle p^2\rangle=\hbar^2/4\sigma^2$. L'energia cinetica guadagnata per dimensione è

Moltiplicata per $\lambda$ dà circa $10^{-41}$ W per elettrone: invisibile in laboratorio. Per questo i vincoli più forti vengono da sistemi enormi e freddi come il mezzo intergalattico (Norsen, p. 274). Le convenzioni della letteratura differiscono per fattori 2; la stima va presa come ordine di grandezza.

6I giudizi di Norsen e di Bell

Fin qui la pagina ha riportato equazioni e conseguenze. Ora riporto opinioni. La tabella che segue separa le affermazioni che si dimostrano o si misurano da quelle che sono preferenze argomentate; la terza colonna dice dove leggerle.

Il giudizio di Norsen

Norsen dichiara di essere d'accordo con Bell: tra le opzioni disponibili l'onda pilota mostra la fattura migliore. Ammette che l'apparente incompatibilità con la relatività preoccupa, ma osserva che il teorema di Bell e gli esperimenti indicano che la non località è un tratto reale del mondo, quindi non può essere un difetto che squalifica una teoria in particolare. Riconosce che ci sono indizi di una conciliazione migliore con la relatività nelle teorie a collasso spontaneo, che giudica però artificiose; dei molti mondi dice che hanno difficoltà diffuse con probabilità e ontologia. La conclusione è che l'onda pilota è l'opzione più plausibile e promettente (p. 311).

Subito dopo Norsen precisa che il suo scopo principale non è convertire nessuno. Le speranze dichiarate sono due (pp. 311-312): far vedere che un resoconto uniforme e coerente dal micro al macro è raggiungibile, cosa che onda pilota, GRW ed Everett mostrano ciascuna a modo suo; e far capire che costruire un'immagine realistica del mondo quantistico è relativamente facile, mentre è difficile unificarla con la relatività, cioè risolvere il conflitto rivelato da Bell. Questa seconda sfida, scrive, è poco conosciuta e forse legata alla gravità quantistica.

Il giudizio di Bell

Bell distribuisce i giudizi così (art. 20, pp. 204-206). I tre mondi romantici piacciono ai giornalisti. Bell crede che la mente abbia un posto centrale nella realtà ultima, ma pensa che la fisica non sia ancora abbastanza profonda per servirsene. I molti mondi sono stravaganti e soprattutto vaghi, ma potrebbero avere qualcosa da dire su EPR, e varrebbe la pena formularli in modo preciso. Tra le alternative professionali, la pragmatica va rispettata; la Schrödinger non lineare è la speranza migliore per una teoria precisa vicina a quella pragmatica; l'onda pilota è una riconciliazione quasi banale con gli ideali classici, e ha il merito di mettere in evidenza la non località. Chiude paragonando le teorie fisiche ai romanzi storici: invenzioni libere, ma vincolate ai fatti, come un romanziere non può spostare il papa da Avignone nel 1327 (p. 206).

Si noti la differenza di accento tra i due: Norsen sceglie l'onda pilota; Bell le riconosce la fattura migliore ma indica nella Schrödinger non lineare la speranza più concreta, e nell'art. 22 scrive che GRW toglie fondamento al suo timore che ogni formulazione esatta debba contraddire Lorentz (pp. 219-220).

Il giudizio di Weinberg

Un terzo giudizio viene dal manuale di Weinberg, che chiude i principi generali con una sezione sulle interpretazioni (§3.7, pp. 109-125). Weinberg arriva alla questione da un'altra direzione: esclude dalla discussione le teorie che cambiano la dinamica, cioè le variabili nascoste alla Bohm e il collasso spontaneo alla GRW, che cita solo in nota (p. 111), e confronta le interpretazioni che lasciano intatta l'equazione di Schrödinger. Le divide in due famiglie.

• Strumentaliste (Copenhagen riletta, QBism, storie consistenti): il vettore di stato è solo uno strumento per calcolare probabilità e la regola di Born è una legge di natura. L'obiezione di Weinberg (pp. 115-116 e 119) è che così le persone che osservano entrano nelle leggi di natura, mentre per capire scientificamente anche gli scienziati le leggi devono essere impersonali. Il paragone è con Darwin e Wallace, che tolsero dalla biologia l'idea di una tendenza della vita a evolvere verso qualcosa di migliore, come noi. Nelle storie consistenti la scelta delle osservabili da fissare la fa qualcuno, e non è unica.
• Realiste (molti mondi): il vettore di stato è reale ed evolve sempre con Schrödinger. Le obiezioni (pp. 120-125): in uno stato entangled l'intervento su un sistema cambia istantaneamente il vettore di stato dell'altro, e la regola di Born non si deriva senza circolarità (l'operatore di frequenza, nella pagina sui molti mondi).

La conclusione (p. 125) è la più netta delle tre: oggi non c'è nessuna interpretazione priva di difetti seri, e va presa sul serio la possibilità che la meccanica quantistica sia l'approssimazione di una teoria più soddisfacente. Riassumendo: Norsen sceglie l'onda pilota, Bell spera nella Schrödinger non lineare, Weinberg non si accontenta di nessuna. Una nostra osservazione, non sua: la strada che Weinberg auspica, una teoria più profonda di cui la meccanica quantistica sia un'approssimazione, è nello spirito delle teorie a collasso che aveva escluso dalla discussione.

7Altre interpretazioni, fuori dai due libri

QBism

Il QBism (da Quantum Bayesianism) legge lo stato quantistico come il grado di fiducia personale di un agente sugli esiti delle sue azioni future, nel senso della probabilità bayesiana; la regola di Born diventa una norma di coerenza tra le aspettative dell'agente. Il collasso è l'aggiornamento delle aspettative dopo un'esperienza, e non c'è nulla che si propaghi a distanza. Norsen lo presenta come un tentativo di modernizzare Copenhagen e rimanda a un'introduzione di Fuchs, Mermin e Schack (p. 313, rif. 27). Una struttura caratteristica: per un sistema di dimensione $d$, usando una misura di riferimento con $d^2$ esiti di un tipo particolare (detta SIC), la regola di Born si può riscrivere come una legge delle probabilità totali deformata,

dove $p(i)$ sono le probabilità degli esiti della misura di riferimento, $r(j|i)$ le probabilità condizionate e $q(j)$ quelle della misura effettiva; classicamente sarebbe $q(j)=\sum_ip(i)\,r(j|i)$. È l'equazione che Fuchs e Schack chiamano Urgleichung; la regola di Born ordinaria e questa forma sono equivalenti quando la misura di riferimento è SIC. La derivazione non è in nessuno dei due libri del percorso.

Interpretazione relazionale

Proposta da Rovelli nel 1996, sostiene che i valori delle grandezze fisiche non sono assoluti ma relativi a un altro sistema, come la velocità in meccanica classica è relativa a un riferimento. Non esiste lo stato del mondo: esiste lo stato di $S$ relativo a $O$. La struttura tipica è quella dell'amico di Wigner. Dopo che l'osservatore $O$ ha misurato lo spin di $S$, relativamente a $O$ lo spin ha un valore, per esempio $|{+}\rangle$; relativamente a un secondo osservatore $P$ che non ha ancora interagito, il sistema composto è nello stato

e le due descrizioni sono entrambe corrette. Nella tabella della sezione 1 la casella «che cosa esiste» diventerebbe «eventi relativi a coppie di sistemi»; resta da capire come si concilino le prospettive di osservatori diversi, su cui la letteratura discute.

Storie consistenti

Sviluppate da Robert Griffiths a partire dagli anni Ottanta, poi da Omnès e da Gell-Mann e Hartle. Attenzione al nome: non è il David Griffiths del manuale che Norsen cita a p. 180 per le posizioni realista, ortodossa e agnostica. Norsen la descrive come una versione più formale e moderna di Copenhagen e cita il libro di R. Griffiths del 2002 (p. 313, rif. 26 a p. 315). L'oggetto base è una storia, una successione di proiettori a tempi diversi (i proiettori della Lezione 1, domande sì/no); a una storia $\alpha$ si associa l'operatore $C_\alpha=P_{\alpha_n}(t_n)\cdots P_{\alpha_1}(t_1)$, dove $P(t)=e^{i\hat Ht/\hbar}Pe^{-i\hat Ht/\hbar}$. Per uno stato puro $|\psi\rangle$ si definisce

e una famiglia di storie è consistente se $D(\alpha,\beta)\approx0$ per $\alpha\ne\beta$ (in alcune versioni basta la parte reale). Solo allora si assegnano le probabilità $p(\alpha)=D(\alpha,\alpha)=\|C_\alpha|\psi\rangle\|^2$, che si sommano come probabilità classiche. Il legame con il corso è diretto: $D(\alpha,\beta)$ con $\alpha\ne\beta$ è un termine di interferenza. Nella doppia fenditura le storie «fenditura superiore, poi puntino in $x$» e «fenditura inferiore, poi puntino in $x$» hanno $D\ne0$ (è il termine $2\,\mathrm{Re}(\Psi_+^*\Psi_-)$ della sezione 3), quindi la teoria rifiuta di dare una probabilità a «da quale fenditura».

Weinberg (pp. 117-119) dà la stessa costruzione con un vettore per ogni storia, $\Psi_{a_1\dots a_N}=e^{-iHt_N/\hbar}\,\Pi_N(a_N,t_N)\cdots\Pi_1(a_1,t_1)\,e^{iHt_0/\hbar}\Psi$ (eq. 3.7.10), probabilità $P(a_1\dots a_N)=(\Psi_{a_1\dots a_N},\Psi_{a_1\dots a_N})$ (eq. 3.7.12) e condizione di consistenza $(\Psi_{a'_1\dots a'_N},\Psi_{a_1\dots a_N})=0$ se le storie differiscono (eq. 3.7.14). Dimostra la proprietà che giustifica il nome di probabilità: sommando su tutti i valori $a_r$ a un certo tempo si ottiene la probabilità della storia in cui quel tempo non è fissato (eq. 3.7.13).

1. Per definizione $\sum_{a_r}P(\dots a_r\dots)=\sum_{a_r}(\Psi_{\dots a_r\dots},\Psi_{\dots a_r\dots})$.
2. Per la consistenza i prodotti scalari tra storie con $a'_r\neq a_r$ sono nulli, quindi si possono aggiungere senza cambiare nulla: la somma diventa $\big(\sum_{a'_r}\Psi_{\dots a'_r\dots},\sum_{a_r}\Psi_{\dots a_r\dots}\big)$.
3. I proiettori su tutti i valori di $a_r$ sommano all'identità, $\sum_{a_r}\Pi_r(a_r,t_r)=\mathbb 1$, quindi $\sum_{a_r}\Psi_{\dots a_r\dots}=\Psi_{\dots\,\widehat{a_r}\,\dots}$, il vettore della storia senza quel tempo.
4. Ne segue $\sum_{a_r}P(\dots a_r\dots)=P(\dots\widehat{a_r}\dots)$ e, ripetendo per ogni tempo, $\sum P=(\Psi,\Psi)=1$ (eq. 3.7.15).

Le storie che soddisfano la condizione sono quelle selezionate dalla decoerenza, come le celle di spazio in cui si trova un pianeta (p. 119). La critica di Weinberg è nel paragrafo «Il giudizio di Weinberg» qui sopra.

Interpretazione transazionale

Proposta da Cramer nel 1986 (Rev. Mod. Phys. 58, citata da Norsen a p. 315, rif. 29, come proposta retrocausale più sviluppata formalmente). L'emettitore manda un'onda di offerta $\psi$ in avanti nel tempo; ogni possibile assorbitore risponde con un'onda di conferma, del tipo $\psi^*$, che viaggia indietro nel tempo fino all'emettitore. Lo scambio che si completa è la «transazione», e corrisponde all'evento osservato. La motivazione della regola di Born è strutturale: l'ampiezza della conferma che torna all'emettitore è proporzionale a $\psi\,\psi^*=|\psi|^2$. Norsen colloca queste idee tra quelle secondo cui quasi tutto ciò che è enigmatico in MQ sparisce se si ammettono influenze causali all'indietro nel tempo, e cita anche una rassegna di Price e Wharton (p. 313).

Superdeterminismo

È l'unica opzione di questa lista che si legge direttamente sulla derivazione della CHSH della pagina C. Il teorema usa l'ipotesi che la distribuzione degli stati della coppia non dipenda dalle impostazioni scelte, $\rho(\lambda|\hat a,\hat b)=\rho(\lambda)$; senza di essa la (8.53) non si scrive più, perché due correlazioni misurate con impostazioni diverse non stanno sotto lo stesso integrale con la stessa $\rho$ (Norsen, Progetto 8.4, p. 248). Il superdeterminismo nega questa ipotesi: le scelte degli strumenti e le variabili della coppia sono correlate da cause comuni nel passato, e allora una teoria locale può violare la CHSH. Norsen cita 't Hooft come sostenitore e propone nel Progetto 8.12 il paragone con lo studio clinico randomizzato, in cui l'intera logica si regge sull'indipendenza tra assegnazione del farmaco e stato del paziente (nota 3 e p. 250). La critica principale è che una correlazione del genere dovrebbe valere qualunque meccanismo si usi per scegliere le impostazioni.

Interpretazioni modali

Una famiglia di proposte (van Fraassen, Kochen, Dieks e altri) in cui lo stato evolve sempre con Schrödinger, senza collasso, e una regola aggiuntiva dice quali grandezze hanno un valore definito, anche se lo stato non è un loro autostato. Nella versione di Dieks la regola usa la decomposizione di Schmidt: ogni stato di un sistema composto $S+A$ si può scrivere come

e si postula che $S$ abbia davvero una delle proprietà $|s_k\rangle\langle s_k|$, con probabilità $p_k$. Dopo una misura ideale la decomposizione di Schmidt è proprio quella che accoppia autostati del sistema e letture del puntatore, quindi il puntatore ha una lettura definita. La base è unica solo se i $p_k$ sono tutti diversi, e questo è uno dei problemi discussi in letteratura. Come struttura, ricorda l'onda pilota con una variabile aggiunta diversa dalla posizione.

8Come proseguire: gli esercizi dei libri

I progetti dei libri sono numerosi; i digest del percorso ne hanno marcato alcuni con ★ (★★ i più impegnativi) perché esercitano la matematica. Questo è l'ordine che consiglio, pensato per chi a lezione ha fatto postulati, Dirac e cambio di base. Tutte le pagine sono di Norsen.

1. Riscaldamento con gli strumenti del corso. Progetto 2.12★ (p. 69): stato $\psi_{-x}$ misurato lungo un asse a 60°. Poi 2.16★ e 2.17★ (p. 70): riscrivere il singoletto nelle basi $\psi_{\pm x}$ e $\psi_{\pm n}$. Sono cambi di base unitari in $\mathbb C^2$ e $\mathbb C^2\otimes\mathbb C^2$.
2. Il modello di misura. Progetto 3.1★ (p. 93): verificare che la sovrapposizione (3.20) risolve Schrödinger con $\hat H=\lambda\hat H_x\hat p_y$. Poi 3.12★ (pp. 95-96): lo Stern-Gerlach con la posizione come puntatore, cioè la dinamica comune della sezione 4.
3. Le frange. Progetto 6.7★ (pp. 182-184): la spaziatura $\lambda L/d$, svolta nella sezione 3.
4. L'onda pilota, parte formale. Progetti 7.1★, 7.2★, 7.3★ (p. 217): equivalenza delle forme dell'equazione guida, equazione di continuità per la distribuzione $P(x,t)$, corrente in tre dimensioni. Poi 7.5★ (p. 217): le traiettorie iperboliche del pacchetto libero.
5. L'onda pilota, fisica. Progetto 7.12★ (p. 219): l'accelerazione $ma=-\partial_x(V+Q)$ con il potenziale quantistico, e perché l'elettrone dell'idrogeno sta fermo. Progetto 7.15★ (pp. 219-220): la misura di posizione rivela un valore preesistente. Progetto 7.11★ (p. 219): le correnti dello stato entangled di due scatole, cioè la non località esplicita.
6. Bell. Progetto 8.4★ (p. 248): trovare dove entra l'indipendenza delle impostazioni. Poi 8.3★★ (p. 248): rifare tutta la derivazione della CHSH. Poi 8.10★ (p. 249): i gemelli e le tre domande. Infine 8.12★ (p. 250): il superdeterminismo.
7. GRW. Progetto 9.4★ (p. 276): $P(r)=N(r)^2$ è una distribuzione normalizzata. Poi 9.1★ (p. 276): il colpo su una delta. Poi 9.2★★ e 9.3★★ (p. 276): il colpo su una gaussiana di larghezza $w_0$. Poi 9.6★★ (pp. 276-277): perché $P(r)=N(r)^2$ e non $|\psi(r)|^2$, cioè l'assenza di segnali. Le stime 9.7★ e 9.12★ (pp. 277-278) e il riscaldamento 9.9★★ (p. 277) chiudono il capitolo.
8. Molti mondi. Progetto 10.3★★ (pp. 304-305): stati relativi con i proiettori. Poi 10.5★ e 10.4★★ (p. 305): la frazione pesata dei rami e il suo picco in $Np$. Poi 10.9★★ (pp. 305-306): l'argomento di Everett per $w=c|x|^2$ come equazione di Cauchy. Infine 10.16★ (p. 308) e 10.13★ (p. 307), che collegano molti mondi e GRW.